реши
Давайте разберем задачу и решим выражение:
Дано:
\[ \frac{z'_x + z'_y}{z'_x \cdot z'_y} \] при \( x = 1 \) и \( y = 2 \), если \( z = -x^3 \cdot y^{-3} \).
Шаг 1: Найдем частные производные \( z'_x \) и \( z'_y \).
Изначально, \( z \) задано как: \[ z = -x^3 \cdot y^{-3} \]
Найдем \( z'_x \):
Частная производная \( z \) по \( x \): \[ z = -x^3 \cdot y^{-3} \]
Производная по \( x \): \[ z'_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( -x^3 \cdot y^{-3} \right) = -3x^2 \cdot y^{-3} \]
Найдем \( z'_y \):
Частная производная \( z \) по \( y \): \[ z'_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( -x^3 \cdot y^{-3} \right) \]
Используем правило произведения: \[ z'_y = -x^3 \cdot (-3y^{-4}) = 3x^3 \cdot y^{-4} \]
Шаг 2: Подставим значения \( x = 1 \) и \( y = 2 \).
Подставим в \( z'_x \):
\[ z'_x = -3 \cdot 1^2 \cdot (2)^{-3} = -3 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{3}{8} \]
Подставим в \( z'_y \):
\[ z'_y = 3 \cdot 1^3 \cdot (2)^{-4} = 3 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{16} \]
Шаг 3: Найдем значение выражения.
Подставим \( z'_x \) и \( z'_y \) в выражение:
\[ \frac{z'_x + z'_y}{z'_x \cdot z'_y} = \frac{-\frac{3}{8} + \frac{3}{16}}{-\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{16}} \]
Сложим числители:
\[ -\frac{3}{8} + \frac{3}{16} = -\frac{6}{16} + \frac{3}{16} = -\frac{3}{16} \]
Умножим знаменатели:
\[ -\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{16} = -\frac{9}{128} \]
Выразим итоговое значение:
\[ \frac{-\frac{3}{16}}{-\frac{9}{128}} = \frac{128}{16} \cdot \frac{3}{9} = \frac{8}{3} \]
Итак, в ответе действительно получаем отрицательное число, значит произведение \( ab = 8 \cdot 3 = 24 \).
Ответ:
24
