Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см а синус одного из острых углов равен 0,6 Найдите катеты этого треугольника

Для решения задачи о нахождении катетов прямоугольного треугольника, когда известна гипотенуза и синус одного из острых углов, следуем следующим шагам.

Дано:

• Гипотенуза \( c = 25 \) см
• Синус одного из острых углов \( \sin(\alpha) = 0,6 \)

Нам нужно найти:

• Катеты \( a \) и \( b \)

Шаг 1: Найти угол α

Так как \( \sin(\alpha) = 0,6 \), мы можем найти угол α с помощью обратной функции синуса: \[ \alpha = \arcsin(0,6) \]

Шаг 2: Найти длину катетов

В прямоугольном треугольнике применяют соотношения между сторонами и углами:

1. Найдем катет, противолежащий углу α (катет a): \[ a = c \cdot \sin(\alpha) \] Подставим значения: \[ a = 25 \cdot 0,6 = 15 \text{ см} \]

2. Найдем катет, прилежащий к углу α (катет b): Для этого воспользуемся косинусом угла α: \[ b = c \cdot \cos(\alpha) \] Но сначала найдём косинус угла α. Мы знаем, что: \[ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \] Подставим значение синуса: \[ \cos^2(\alpha) + (0,6)^2 = 1 \\ \cos^2(\alpha) + 0,36 = 1 \\ \cos^2(\alpha) = 1 - 0,36 = 0,64 \\ \cos(\alpha) = \sqrt{0,64} = 0,8 \]

Теперь подставим значение косинуса в формулу для катета b: \[ b = 25 \cdot 0,8 = 20 \text{ см} \]

Резюме

• Катет \( a \) (противолежащий углу α): 15 см
• Катет \( b \) (прилежащий к углу α): 20 см

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см.