3. Найдите вероятность того, что при бросании кубика выпадет двойка или четверка, и случится это в первый раз при втором, третьем или четвертом броске

Чтобы найти вероятность того, что при бросании кубика выпадет двойка или четверка, и это произойдет в первый раз на втором, третьем или четвертом броске, сначала определим несколько ключевых моментов.

Шаг 1: Определение основных вероятностей

• Вероятность выпадения двойки или четверки (успеха) при одном бросании кубика: У кубика 6 граней, поэтому вероятность того, что выпадет нужное число: \[ P(\text{успех}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

• Вероятность того, что не выпадет двойка или четверка (неуспех) при одном бросании кубика: \[ P(\text{неуспех}) = 1 - P(\text{успех}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Шаг 2: Условия задачи

Мы ищем вероятность того, что первый успех (выпадение двойки или четверки) произойдет на втором, третьем или четвертом броске. Это означает:

1. На первом броске — неуспех.
2. На втором броске — успех (для случая второго броска).
3. На третьем броске — успех (для случая третьего броска), а на первых двух — неуспехи.
4. На четвертом броске — успех (для случая четвертого броска), а на первых трех — неуспехи.

Шаг 3: Вычисление вероятностей для каждого случая

1. Первый успех на втором броске: \[ P(\text{неуспех, успех}) = P(\text{неуспех}) \times P(\text{успех}) = \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9} \]

2. Первый успех на третьем броске: \[ P(\text{неуспех, неуспех, успех}) = P(\text{неуспех}) \times P(\text{неуспех}) \times P(\text{успех}) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{27} \]

3. Первый успех на четвертом броске: \[ P(\text{неуспех, неуспех, неуспех, успех}) = P(\text{неуспех}) \times P(\text{неуспех}) \times P(\text{неуспех}) \times P(\text{успех}) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{81} \]

Шаг 4: Суммирование вероятностей

Теперь нужно сложить вероятности всех трех случаев, чтобы найти общую вероятность первого успеха на втором, третьем или четвертом броске: \[ P_{\text{общ}} = \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} \]

Чтобы складывать дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9, 27 и 81 — это 81:

• \(\frac{2}{9} = \frac{18}{81}\)
• \(\frac{4}{27} = \frac{12}{81}\)
• \(\frac{8}{81} = \frac{8}{81}\)

Теперь складываем: \[ P_{\text{общ}} = \frac{18}{81} + \frac{12}{81} + \frac{8}{81} = \frac{38}{81} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что при бросании кубика выпадет двойка или четверка в первый раз на втором, третьем или четвертом броске, составляет: \[ \frac{38}{81} \]