диспетчер скорой помощи за час приняла 300 звонков. определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 450

Для решения данной задачи мы можем использовать распределение Пуассона, так как количество звонков, поступающих диспетчеру, можно рассматривать как событие, происходящее с определенной средней интенсивностью в фиксированный промежуток времени. В данном случае среднее число звонков за час равно 300.

Шаг 1: Определение параметров

Сначала определим параметры распределения:

• Среднее количество звонков в час (\(\lambda\)) = 300.

Шаг 2: Формула распределения Пуассона

Формула для вычисления вероятности по распределению Пуассона выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

где:

• \(P(X = k)\) — вероятность того, что произойдёт ровно \(k\) событий (в нашем случае, звонков),
• \(\lambda\) — среднее число событий (звонков) в фиксированном периоде времени,
• \(e\) — число Эйлера, примерно равное 2.71828,
• \(k!\) — факториал числа \(k\).

Шаг 3: Найти вероятность превышения 450 звонков

Нам нужно найти вероятность события, что количество звонков превысит 450. Это можно выразить как:

\[ P(X > 450) = 1 - P(X \leq 450) \]

Шаг 4: Рассчитать \(P(X \leq 450)\)

Для того чтобы расчитать \(P(X \leq 450)\), нам нужно суммировать вероятности для всех значений от 0 до 450:

\[ P(X \leq 450) = \sum_{k=0}^{450} P(X = k) = \sum_{k=0}^{450} \frac{300^k e^{-300}}{k!} \]

Однако, такая сумма вручную рассчитывать крайне сложно. Вместо этого мы можем использовать нормальное приближение, так как \(\lambda\) велико (в данном случае \(\lambda = 300\)).

Шаг 5: Применение нормального приближения

Когда \(\lambda\) велико, распределение Пуассона можно аппроксимировать нормальным распределением с параметрами:

• Среднее (\(\mu\)) = \(\lambda = 300\),
• Дисперсия (\(\sigma^2\)) = \(\lambda = 300\), следовательно, стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{300} \approx 17.32. Используем нормальное распределение для расчёта: 1. Приведём число 450 к стандартной нормальной форме (Z-оценка): \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{450 - 300}{\sqrt{300}} \approx \frac{150}{17.32} \approx 8.66 \] 2. Теперь найдём вероятность для нормального распределения: Используем таблицы стандартного нормального распределения или калькулятор. Для \(Z \approx 8.66\) вероятность того, что \(Z\) больше этого значения, практически равна 0.

Ответ

Таким образом, вероятность того, что в течение следующего часа количество звонков превысит 450, практически равна 0.