Чистая прибыль магазина увеличивается на 20%. сколько полных лет должно пройти, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза?

Для решения задачи найдем, через сколько полных лет чистая прибыль магазина, увеличенная на 20% каждый год, станет не менее чем в 2,4 раза больше начальной чистой прибыли.

1. Обозначим начальную прибыль: Пусть начальная чистая прибыль составляет \( P \).

2. Увеличение прибыли: Каждый год чистая прибыль увеличивается на 20%. Это означает, что после первого года прибыль составит: \[ P_1 = P \times (1 + 0,20) = P \times 1,2 \] После второго года: \[ P_2 = P_1 \times 1,2 = P \times 1,2^2 \] После третьего года: \[ P_3 = P_2 \times 1,2 = P \times 1,2^3 \] После \( n \) полных лет прибыль составит: \[ P_n = P \times (1,2^n) \]

3. Условие задачи: Мы хотим знать, когда эта прибыль станет не менее чем в 2,4 раза больше начальной: \[ P_n \geq 2,4 \times P \] Подставим выражение для \( P_n \): \[ P \times (1,2^n) \geq 2,4 \times P \] Разделим обе стороны на \( P \) (предполагая, что \( P > 0 \)): \[ 1,2^n \geq 2,4 \]

4. Решение неравенства: Теперь нужно решить неравенство \( 1,2^n \geq 2,4 \).

   • Для этого мы можем взять логарифм обеих сторон: \[ \log(1,2^n) \geq \log(2,4) \] Используя свойство логарифмов, можем переписать неравенство как: \[ n \cdot \log(1,2) \geq \log(2,4) \] Обратите внимание, что \( \log(1,2) \) отрицательное число (приблизительно \( -0,301 \)), и при делении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется: \[ n \leq \frac{\log(2,4)}{\log(1,2)} \]

5. Вычислим значение: Теперь подставим значения логарифмов (можно воспользоваться логарифмической таблицей или калькулятором):

   • \( \log(2,4) \approx 0,38 \) (приблизительно, это логарифм 2,4 по основанию 10)
   • \( \log(1,2) \approx 0,079 \)

   Подставим значения: \[ n \leq \frac{0,38}{0,079} \approx 4,8 \]

6. Итоговый ответ: Поскольку \( n \) должно быть целым числом, округляем \( 4,8 \) до ближайшего большего целого числа, то есть 5.

Таким образом, потребуется не менее 5 полных лет, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза.