Чистая прибыль магазина увеличивается на 20%. сколько полных лет должно пройти, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза?
Для решения задачи найдем, через сколько полных лет чистая прибыль магазина, увеличенная на 20% каждый год, станет не менее чем в 2,4 раза больше начальной чистой прибыли.
1. **Обозначим начальную прибыль:** Пусть начальная чистая прибыль составляет \( P \).
2. **Увеличение прибыли:** Каждый год чистая прибыль увеличивается на 20%. Это означает, что после первого года прибыль составит:
\[
P_1 = P \times (1 + 0,20) = P \times 1,2
\]
После второго года:
\[
P_2 = P_1 \times 1,2 = P \times 1,2^2
\]
После третьего года:
\[
P_3 = P_2 \times 1,2 = P \times 1,2^3
\]
После \( n \) полных лет прибыль составит:
\[
P_n = P \times (1,2^n)
\]
3. **Условие задачи:** Мы хотим знать, когда эта прибыль станет не менее чем в 2,4 раза больше начальной:
\[
P_n \geq 2,4 \times P
\]
Подставим выражение для \( P_n \):
\[
P \times (1,2^n) \geq 2,4 \times P
\]
Разделим обе стороны на \( P \) (предполагая, что \( P > 0 \)):
\[
1,2^n \geq 2,4
\]
4. **Решение неравенства:** Теперь нужно решить неравенство \( 1,2^n \geq 2,4 \).
- Для этого мы можем взять логарифм обеих сторон:
\[
\log(1,2^n) \geq \log(2,4)
\]
Используя свойство логарифмов, можем переписать неравенство как:
\[
n \cdot \log(1,2) \geq \log(2,4)
\]
Обратите внимание, что \( \log(1,2) \) отрицательное число (приблизительно \( -0,301 \)), и при делении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется:
\[
n \leq \frac{\log(2,4)}{\log(1,2)}
\]
5. **Вычислим значение:** Теперь подставим значения логарифмов (можно воспользоваться логарифмической таблицей или калькулятором):
- \( \log(2,4) \approx 0,38 \) (приблизительно, это логарифм 2,4 по основанию 10)
- \( \log(1,2) \approx 0,079 \)
Подставим значения:
\[
n \leq \frac{0,38}{0,079} \approx 4,8
\]
6. **Итоговый ответ:** Поскольку \( n \) должно быть целым числом, округляем \( 4,8 \) до ближайшего большего целого числа, то есть 5.
Таким образом, **потребуется не менее 5 полных лет**, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза.
