Давайте решим эту геометрическую задачу шаг за шагом.
У нас есть прямоугольный треугольник с одним углом, равным 60°. Обозначим его углы и стороны:
- Пусть угол A равен 60°, угол B равен 30° (так как в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, а угол C — прямой и равен 90°).
- Обозначим гипотенузу треугольника как ( c ).
- Обозначим один из катетов, прилежащий к углу 60°, как ( a ) (это больший катет), а другой катет, противолежащий этому углу, как ( b ) (это меньший катет).
Из условия задачи нам также известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26.4 см:
[
c + b = 26.4 \text{ см} \tag{1}
]
Теперь применим тригономометрические соотношения для нахождения катетов в прямоугольном треугольнике.
Для угла 60°:
- Косинус: ( \cos(60°) = \frac{b}{c} )
- Синус: ( \sin(60°) = \frac{a}{c} )
Из известных значений:
- ( \cos(60°) = \frac{1}{2} )
- ( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} )
Теперь можем записать уравнения:
Для катета ( b ):
[
b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \tag{2}
]
Для катета ( a ):
[
a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \tag{3}
]
Теперь подставим (2) в (1):
[
c + \frac{c}{2} = 26.4
]
Сложим эти выражения:
[
\frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 26.4
]
[
\frac{3c}{2} = 26.4
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
3c = 52.8
]
Теперь разделим обе стороны на 3:
[
c = \frac{52.8}{3} = 17.6 \text{ см}
]
Таким образом, мы нашли гипотенузу ( c ) прямоугольного треугольника.
Ответ: Гипотенуза треугольника равна ( 17.6 ) см.
