геометрия 7класс один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катеров равна 26.4 см, найдите гепотенузу треугольника
Давайте решим эту геометрическую задачу шаг за шагом.
У нас есть прямоугольный треугольник с одним углом, равным 60°. Обозначим его углы и стороны:
- Пусть угол A равен 60°, угол B равен 30° (так как в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, а угол C — прямой и равен 90°).
- Обозначим гипотенузу треугольника как \( c \).
- Обозначим один из катетов, прилежащий к углу 60°, как \( a \) (это больший катет), а другой катет, противолежащий этому углу, как \( b \) (это меньший катет).
Из условия задачи нам также известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26.4 см:
\[ c + b = 26.4 \text{ см} \tag{1} \]
Теперь применим тригономометрические соотношения для нахождения катетов в прямоугольном треугольнике.
Для угла 60°:
- Косинус: \( \cos(60°) = \frac{b}{c} \)
- Синус: \( \sin(60°) = \frac{a}{c} \)
Из известных значений:
- \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \)
- \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Теперь можем записать уравнения:
Для катета \( b \): \[ b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \tag{2} \]
Для катета \( a \): \[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \tag{3} \]
Теперь подставим (2) в (1):
\[ c + \frac{c}{2} = 26.4 \]
Сложим эти выражения:
\[ \frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 26.4 \]
\[ \frac{3c}{2} = 26.4 \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 3c = 52.8 \]
Теперь разделим обе стороны на 3:
\[ c = \frac{52.8}{3} = 17.6 \text{ см} \]
Таким образом, мы нашли гипотенузу \( c \) прямоугольного треугольника.
Ответ: Гипотенуза треугольника равна \( 17.6 \) см.
