Давайте решим предоставленную задачу пошагово.
Задача 1: Окружность задана уравнением
Уравнение окружности имеет вид:
[
(x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 49
]
а) Укажите центр окружности и ее радиус.
Уравнение окружности в общем виде представляется так:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2,
]
где ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности, а (r) — радиус.
Сравним наше уравнение с этим общим видом:
- ((x + 5)^2) можно записать как ((x - (-5))^2), значит, (x_0 = -5).
- ((y - 4)^2) означает, что (y_0 = 4).
- (r^2 = 49) значит, (r = \sqrt{49} = 7).
Ответ: Центр окружности (C(-5; 4)), радиус (r = 7).
б) Определим, какие из точек A(2, 4), B(1, 3), C(-5, -3) лежат на данной окружности.
Чтобы проверить, лежит ли точка на окружности, нужно подставить координаты точки в уравнение и проверить равенство.
Для точки A(2, 4):
[
(2 + 5)^2 + (4 - 4)^2 = 7^2 + 0^2 = 49,
]
что совпадает с правой частью уравнения.
Следовательно, точка A лежит на окружности.
Для точки B(1, 3):
[
(1 + 5)^2 + (3 - 4)^2 = 6^2 + (-1)^2 = 36 + 1 = 37,
]
что не равно 49.
Следовательно, точка B не лежит на окружности.
Для точки C(-5, -3):
[
(-5 + 5)^2 + (-3 - 4)^2 = 0^2 + (-7)^2 = 0 + 49 = 49,
]
что совпадает с правой частью уравнения.
Следовательно, точка C лежит на окружности.
Ответ: Точки A и C лежат на окружности, точка B не лежит.
в) Найдите точку с абсциссой -12, лежащую на данной окружности.
Подставим (x = -12) в уравнение окружности и найдём (y):
[
(-12 + 5)^2 + (y - 4)^2 = 49.
]
Это упрощается до:
[
(-7)^2 + (y - 4)^2 = 49,
]
или
[
49 + (y - 4)^2 = 49.
]
Упростим уравнение:
[
(y - 4)^2 = 0.
]
Это означает, что (y - 4 = 0), следовательно,
(y = 4).
Таким образом, точка с абсциссой -12, лежащая на окружности, имеет координаты:
((-12; 4)).
Задача 2: Найдите уравнение окружности с центром С и радиусом r.
а) (C(-3; 2)), (r = \sqrt{3})
Подставляем значения в общее уравнение окружности:
[
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{3})^2,
]
что упрощается до:
[
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 3.
]
Ответ: Уравнение окружности: ((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 3.)
б) (C(0; -6)), (r = 4)
Подставляем значения:
[
(x - 0)^2 + (y + 6)^2 = 4^2,
]
что упрощается до:
[
x^2 + (y + 6)^2 = 16.
]
Ответ: Уравнение окружности: (x^2 + (y + 6)^2 = 16.)
На этом решение задачи завершено! Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь.
