1) Окружность задана уравнением (х + 5)2 + (у - 4)2 = 49. a) Укажите центр окружности и ее радиус. б) Какие из точек А(2; 4), В(1; 3), С(-5; -3) лежат на данной окружности? в)…

Давайте решим предоставленную задачу пошагово.

Задача 1: Окружность задана уравнением

Уравнение окружности имеет вид: \[ (x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 49 \]

а) Укажите центр окружности и ее радиус.

Уравнение окружности в общем виде представляется так: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2, \] где \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — радиус.

Сравним наше уравнение с этим общим видом:

• \((x + 5)^2\) можно записать как \((x - (-5))^2\), значит, \(x_0 = -5\).
• \((y - 4)^2\) означает, что \(y_0 = 4\).
• \(r^2 = 49\) значит, \(r = \sqrt{49} = 7\).

Ответ: Центр окружности \(C(-5; 4)\), радиус \(r = 7\).

б) Определим, какие из точек A(2, 4), B(1, 3), C(-5, -3) лежат на данной окружности.

Чтобы проверить, лежит ли точка на окружности, нужно подставить координаты точки в уравнение и проверить равенство.

Для точки A(2, 4): \[ (2 + 5)^2 + (4 - 4)^2 = 7^2 + 0^2 = 49, \] что совпадает с правой частью уравнения. Следовательно, точка A лежит на окружности.

Для точки B(1, 3): \[ (1 + 5)^2 + (3 - 4)^2 = 6^2 + (-1)^2 = 36 + 1 = 37, \] что не равно 49. Следовательно, точка B не лежит на окружности.

Для точки C(-5, -3): \[ (-5 + 5)^2 + (-3 - 4)^2 = 0^2 + (-7)^2 = 0 + 49 = 49, \] что совпадает с правой частью уравнения. Следовательно, точка C лежит на окружности.

Ответ: Точки A и C лежат на окружности, точка B не лежит.

в) Найдите точку с абсциссой -12, лежащую на данной окружности.

Подставим \(x = -12\) в уравнение окружности и найдём \(y\): \[ (-12 + 5)^2 + (y - 4)^2 = 49. \] Это упрощается до: \[ (-7)^2 + (y - 4)^2 = 49, \] или \[ 49 + (y - 4)^2 = 49. \] Упростим уравнение: \[ (y - 4)^2 = 0. \] Это означает, что \(y - 4 = 0\), следовательно, \(y = 4\).

Таким образом, точка с абсциссой -12, лежащая на окружности, имеет координаты: \((-12; 4)\).

Задача 2: Найдите уравнение окружности с центром С и радиусом r.

а) \(C(-3; 2)\), \(r = \sqrt{3}\)

Подставляем значения в общее уравнение окружности: \[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{3})^2, \] что упрощается до: \[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 3. \]

Ответ: Уравнение окружности: \((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 3.\)

б) \(C(0; -6)\), \(r = 4\)

Подставляем значения: \[ (x - 0)^2 + (y + 6)^2 = 4^2, \] что упрощается до: \[ x^2 + (y + 6)^2 = 16. \]

Ответ: Уравнение окружности: \(x^2 + (y + 6)^2 = 16.\)

На этом решение задачи завершено! Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь.