Чтобы решить задачу, начнём с обозначений и основных формул. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет в 3 раза длиннее другого. Обозначим короткий катет как ( a ), тогда больший катет будет ( 3a ).
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где ( c ) — гипотенуза, ( a ) и ( b ) — катеты. В нашей задаче ( c = \sqrt{90} ), ( a = a ) и ( b = 3a ).
Подставляем в формулу:
[
(\sqrt{90})^2 = a^2 + (3a)^2
]
Преобразуем:
[
90 = a^2 + 9a^2
]
[
90 = 10a^2
]
Теперь найдём ( a^2 ):
[
a^2 = \frac{90}{10} = 9
]
Теперь найдём ( a ):
[
a = \sqrt{9} = 3
]
Теперь можем найти больший катет ( b ), который равен ( 3a ):
[
b = 3a = 3 \cdot 3 = 9
]
Таким образом, больший катет этого треугольника равен 9.
Итак, ответ: больший катет равен 9.
