В прямоугольном треугольнике ABC угол (C равен 90°) Проведена биссектриса BD Найдите острые углы треугольника ABC если угол ADB равен 110°
В задаче дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C и проведенной биссектрисой BD. Нам известно, что угол ADB равен 110°. Нам нужно найти острые углы треугольника ABC, то есть углы A и B.
Запись информации и обозначение:
Обозначим угол A как α, угол B как β, и угол C, который равен 90°. У нас есть угол ADB = 110°.Свойства биссектрисы:
Биссектрисы делят угол пополам. Так как BD является биссектрисой угла ABC (назовем его угол β), то: \[ \angle ABD = \frac{\beta}{2} \]Определение угла ADB:
Угол ADB можно выразить через углы треугольника ABD: \[ \angle ADB = 180° - \angle ABD - \angle BAD \] Подставим известные значения. Угол BAD равен α, а угол ABD равен \(\frac{\beta}{2}\): \[ 110° = 180° - \frac{\beta}{2} - \alpha \]Перепишем уравнение:
Преобразуем уравнение: \[ 110° = 180° - \frac{\beta}{2} - \alpha \] \[ \frac{\beta}{2} + \alpha = 180° - 110° = 70° \] \[ \frac{\beta}{2} + \alpha = 70° \quad (1) \]Сумма углов треугольника ABC:
Сумма углов треугольника ABC равна 180°: \[ \alpha + \beta + 90° = 180° \] \[ \alpha + \beta = 90° \quad (2) \]Решение системы уравнений:
Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ (1) \quad \frac{\beta}{2} + \alpha = 70° \] \[ (2) \quad \alpha + \beta = 90° \]Из уравнения (2) выразим β: \[ \beta = 90° - \alpha \]
Подставим это значение в уравнение (1): \[ \frac{90° - \alpha}{2} + \alpha = 70° \] Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 90° - \alpha + 2\alpha = 140° \] \[ 90° + \alpha = 140° \] \[ \alpha = 140° - 90° = 50° \]
Теперь подставим значение α обратно в уравнение (2) для нахождения β: \[ \alpha + \beta = 90° \] \[ 50° + \beta = 90° \] \[ \beta = 90° - 50° = 40° \]
Ответ:
Таким образом, острые углы треугольника ABC:
- Угол A (α) = 50°
- Угол B (β) = 40°
Проверим: Сумма углов: \[ 50° + 40° + 90° = 180° \] Всё проверено, задача решена.
