В прямоугольном треугольнике ABC угол (C равен 90°) Проведена биссектриса BD Найдите острые углы треугольника ABC если угол ADB равен 110°

В задаче дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C и проведенной биссектрисой BD. Нам известно, что угол ADB равен 110°. Нам нужно найти острые углы треугольника ABC, то есть углы A и B. 1. **Запись информации и обозначение:** Обозначим угол A как α, угол B как β, и угол C, который равен 90°. У нас есть угол ADB = 110°. 2. **Свойства биссектрисы:** Биссектрисы делят угол пополам. Так как BD является биссектрисой угла ABC (назовем его угол β), то: \[ \angle ABD = \frac{\beta}{2} \] 3. **Определение угла ADB:** Угол ADB можно выразить через углы треугольника ABD: \[ \angle ADB = 180° - \angle ABD - \angle BAD \] Подставим известные значения. Угол BAD равен α, а угол ABD равен \(\frac{\beta}{2}\): \[ 110° = 180° - \frac{\beta}{2} - \alpha \] 4. **Перепишем уравнение:** Преобразуем уравнение: \[ 110° = 180° - \frac{\beta}{2} - \alpha \] \[ \frac{\beta}{2} + \alpha = 180° - 110° = 70° \] \[ \frac{\beta}{2} + \alpha = 70° \quad (1) \] 5. **Сумма углов треугольника ABC:** Сумма углов треугольника ABC равна 180°: \[ \alpha + \beta + 90° = 180° \] \[ \alpha + \beta = 90° \quad (2) \] 6. **Решение системы уравнений:** Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ (1) \quad \frac{\beta}{2} + \alpha = 70° \] \[ (2) \quad \alpha + \beta = 90° \] Из уравнения (2) выразим β: \[ \beta = 90° - \alpha \] Подставим это значение в уравнение (1): \[ \frac{90° - \alpha}{2} + \alpha = 70° \] Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 90° - \alpha + 2\alpha = 140° \] \[ 90° + \alpha = 140° \] \[ \alpha = 140° - 90° = 50° \] Теперь подставим значение α обратно в уравнение (2) для нахождения β: \[ \alpha + \beta = 90° \] \[ 50° + \beta = 90° \] \[ \beta = 90° - 50° = 40° \] 7. **Ответ:** Таким образом, острые углы треугольника ABC: - Угол A (α) = 50° - Угол B (β) = 40° Проверим: Сумма углов: \[ 50° + 40° + 90° = 180° \] Всё проверено, задача решена.