Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки их количество равно 23 штуки из которых с повидлом шесть штук х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных найдите дисперсию случайной величины x при расчётах ответы округляя до сотых

Для решения данной задачи мы начнем с определения необходимых величин и понятий. ### Шаг 1: Определение случайной величины Обозначим: - \(X\) — количество пирожков с повидлом, которое мы хотим исследовать. - Из 23 пирожков 6 пирожков с повидлом, а остаток (23 - 6 = 17) — это пирожки с другой начинкой. - Мы выбираем 2 пирожка случайным образом. ### Шаг 2: Возможные случаи Мы можем выбрать два пирожка из 23, и интересует нас, какова вероятность того, что в этой выборке окажется различное количество пирожков с повидлом. Возможные случаи: 1. Оба пирожка с повидлом. 2. Один пирожок с повидлом и один с другой начинкой. 3. Оба пирожка с другой начинкой. ### Шаг 3: Находим вероятности Теперь рассчитаем вероятность каждого из этих случаев: 1. **Вероятность выбрать 2 пирожка с повидлом:** Число способов выбрать 2 пирожка с повидлом: \(\binom{6}{2} = 15\) Общее число способов выбрать 2 пирожка из 23: \(\binom{23}{2} = 253\) Тогда вероятность \(P(X=2) = \frac{15}{253}\) 2. **Вероятность выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 с другой начинкой:** Число способов выбрать 1 пирожок с повидлом: \(\binom{6}{1} = 6\) Число способов выбрать 1 пирожок с другой начинкой: \(\binom{17}{1} = 17\) То есть общее число способов: \(6 \times 17 = 102\) Вероятность \(P(X=1) = \frac{102}{253}\) 3. **Вероятность выбрать 2 пирожка с другой начинкой:** Число способов выбрать 2 пирожка с другой начинкой: \(\binom{17}{2} = 136\) Вероятность \(P(X=0) = \frac{136}{253}\) ### Шаг 4: Записываем вероятности Таким образом получаем: - \(P(X=0) = \frac{136}{253}\) - \(P(X=1) = \frac{102}{253}\) - \(P(X=2) = \frac{15}{253}\) ### Шаг 5: Находим математическое ожидание \(E(X)\) Математическое ожидание можно найти по формуле: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(X=x_i)) \] Где \(x_i\) — возможные значения \(X\): \[ E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) \] \[ E(X) = 0 \cdot \frac{136}{253} + 1 \cdot \frac{102}{253} + 2 \cdot \frac{15}{253} \] \[ E(X) = \frac{102 + 30}{253} = \frac{132}{253} \approx 0.52 \] ### Шаг 6: Находим дисперсию \(D(X)\) Дисперсия рассчитывается по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала находим \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) \] \[ E(X^2) = 0 \cdot \frac{136}{253} + 1 \cdot \frac{102}{253} + 4 \cdot \frac{15}{253} \] \[ E(X^2) = 0 + \frac{102}{253} + \frac{60}{253} = \frac{162}{253} \] Теперь подставим его в формулу дисперсии: \[ D(X) = \frac{162}{253} - \left(\frac{132}{253}\right)^2 \] Считаем \((E(X))^2\): \[ \left(\frac{132}{253}\right)^2 = \frac{17424}{64009} \approx 0.272 \] Таким образом, \[ D(X) = \frac{162}{253} - \frac{17424}{64009} \] Чтобы вычислить это, нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель — это \(64009\): \[ D(X) = \frac{162 \cdot 252}{64009} - \frac{17424}{64009} \] \[ D(X) = \frac{40824 - 17424}{64009} = \frac{23400}{64009} \] ### Шаг 7: Окончательный ответ Теперь округлим результат до сотых. Первое, что нам нужно сделать, это вычислить: \[ \frac{23400}{64009} \approx 0.365 \] Таким образом, дисперсия случайной величины \(X\) равна примерно \(0.36\) (округляя до двух знаков после запятой).