Для решения этой задачи мы воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценивать вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- n = 1150 (число испытаний)
- p = 0.4 (вероятность успеха в каждом испытании)
- q = 1 - p = 0.6 (вероятность неуспеха в каждом испытании)
Шаг 2: Найдем математическое ожидание и дисперсию
Для Bernoulli-испытаний:
Математическое ожидание (E) числа успехов:
[
E(X) = n \cdot p = 1150 \cdot 0.4 = 460
]
Дисперсия (Var) числа успехов:
[
Var(X) = n \cdot p \cdot q = 1150 \cdot 0.4 \cdot 0.6
]
[
Var(X) = 1150 \cdot 0.24 = 276
]
Шаг 3: Применим неравенство Чебышева
По неравенству Чебышева, для любого k > 0:
[
P(|X - E(X)| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}
]
где ( \sigma = \sqrt{Var(X)} ) — стандартное отклонение. Сначала найдем стандартное отклонение:
[
\sigma = \sqrt{276} \approx 16.613
]
Теперь нам нужно оценить вероятность того, что разница между числом успехов (X) и математическим ожиданием меньше 60:
[
P(|X - 460| < 60)
]
Это можно записать через неравенство Чебышева как:
[
P(|X - 460| \geq 60) = 1 - P(|X - 460| < 60)
]
Шаг 4: Определим k
Разница составляет 60, нам нужно найти ( k ):
[
k \sigma = 60 \implies k = \frac{60}{\sigma} = \frac{60}{16.613} \approx 3.61
]
Теперь подставим k в неравенство:
[
P(|X - 460| \geq 60) \leq \frac{1}{(3.61)^2} \approx \frac{1}{13.0321} \approx 0.0769
]
Шаг 5: Найдем искомую вероятность
Значит,
[
P(|X - 460| < 60) = 1 - P(|X - 460| \geq 60) \geq 1 - 0.0769 \approx 0.9231
]
Ответ
Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 60, по неравенству Чебышева составляет не менее 0.9231, или 92.31%.
