Проведено 1150 испытаний Бернулли. 0,4 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом…

Для решения этой задачи мы воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценивать вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Шаг 1: Определим параметры задачи

• n = 1150 (число испытаний)
• p = 0.4 (вероятность успеха в каждом испытании)
• q = 1 - p = 0.6 (вероятность неуспеха в каждом испытании)

Шаг 2: Найдем математическое ожидание и дисперсию

Для Bernoulli-испытаний:

• Математическое ожидание (E) числа успехов:
  \[ E(X) = n \cdot p = 1150 \cdot 0.4 = 460 \]

• Дисперсия (Var) числа успехов:
  \[ Var(X) = n \cdot p \cdot q = 1150 \cdot 0.4 \cdot 0.6 \] \[ Var(X) = 1150 \cdot 0.24 = 276 \]

Шаг 3: Применим неравенство Чебышева

По неравенству Чебышева, для любого k > 0: \[ P(|X - E(X)| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} \] где \( \sigma = \sqrt{Var(X)} \) — стандартное отклонение. Сначала найдем стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{276} \approx 16.613 \]

Теперь нам нужно оценить вероятность того, что разница между числом успехов (X) и математическим ожиданием меньше 60: \[ P(|X - 460| < 60) \]

Это можно записать через неравенство Чебышева как: \[ P(|X - 460| \geq 60) = 1 - P(|X - 460| < 60) \]

Шаг 4: Определим k

Разница составляет 60, нам нужно найти \( k \): \[ k \sigma = 60 \implies k = \frac{60}{\sigma} = \frac{60}{16.613} \approx 3.61 \]

Теперь подставим k в неравенство: \[ P(|X - 460| \geq 60) \leq \frac{1}{(3.61)^2} \approx \frac{1}{13.0321} \approx 0.0769 \]

Шаг 5: Найдем искомую вероятность

Значит, \[ P(|X - 460| < 60) = 1 - P(|X - 460| \geq 60) \geq 1 - 0.0769 \approx 0.9231 \]

Ответ

Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 60, по неравенству Чебышева составляет не менее 0.9231, или 92.31%.