В классе 27 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 12 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор?

Для решения данной задачи мы будем использовать комбинаторику, а именно комбинации. Нам нужно выбрать 12 учеников из 27, и порядок выбора неважен.

Формула для вычисления количества комбинаций выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае, 27 учеников),
• \( k \) — количество выбираемых элементов (в данном случае, 12 учеников),
• \( ! \) — факториал числа, который равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до этого числа.

Пошаговое решение:

1. Подставим значения:

   • \( n = 27 \)
   • \( k = 12 \)

2. Вычислим факториалы:

   • \( 27! = 27 \times 26 \times ... \times 1 \)
   • \( 12! = 12 \times 11 \times ... \times 1 \)
   • \( (27-12)! = 15! = 15 \times 14 \times ... \times 1 \)

3. Используем формулу: \[ C(27, 12) = \frac{27!}{12! \times 15!} \]

4. Посчитаем конкретные значения. Мы можем сократить вычисления, так как достаточно знать первые 12 множителей \( 27! \) и все множители \( 12! \) и \( 15! \): \[ C(27, 12) = \frac{27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

5. Выполним вычисления:

   • В числителе:

     • \( 27 \times 26 = 702 \)
     • \( 702 \times 25 = 17550 \)
     • \( 17550 \times 24 = 421200 \)
     • \( 421200 \times 23 = 9687600 \)
     • \( 9687600 \times 22 = 213201600 \)
     • \( 213201600 \times 21 = 4477241600 \)
     • \( 4477241600 \times 20 = 89544832000 \)
     • \( 89544832000 \times 19 = 1703961648000 \)
     • \( 1703961648000 \times 18 = 30671208864000 \)
     • \( 30671208864000 \times 17 = 520432368768000 \)
     • \( 520432368768000 \times 16 = 8326917884288000 \)

   • В знаменателе:

     • \( 12! = 479001600 \)

6. Вычислим окончательный результат: \[ C(27, 12) = \frac{8326917884288000}{479001600} = 17383860 \]

Ответ:

Классный руководитель может выбрать 12 школьников из 27 — 17383860 способами.