В классе 27 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 12 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор?

Для решения данной задачи мы будем использовать комбинаторику, а именно комбинации. Нам нужно выбрать 12 учеников из 27, и порядок выбора неважен. Формула для вычисления количества комбинаций выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где: - \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае, 27 учеников), - \( k \) — количество выбираемых элементов (в данном случае, 12 учеников), - \( ! \) — факториал числа, который равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до этого числа. ### Пошаговое решение: 1. **Подставим значения**: - \( n = 27 \) - \( k = 12 \) 2. **Вычислим факториалы**: - \( 27! = 27 \times 26 \times ... \times 1 \) - \( 12! = 12 \times 11 \times ... \times 1 \) - \( (27-12)! = 15! = 15 \times 14 \times ... \times 1 \) 3. **Используем формулу**: \[ C(27, 12) = \frac{27!}{12! \times 15!} \] 4. **Посчитаем конкретные значения**. Мы можем сократить вычисления, так как достаточно знать первые 12 множителей \( 27! \) и все множители \( 12! \) и \( 15! \): \[ C(27, 12) = \frac{27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] 5. **Выполним вычисления**: - В числителе: - \( 27 \times 26 = 702 \) - \( 702 \times 25 = 17550 \) - \( 17550 \times 24 = 421200 \) - \( 421200 \times 23 = 9687600 \) - \( 9687600 \times 22 = 213201600 \) - \( 213201600 \times 21 = 4477241600 \) - \( 4477241600 \times 20 = 89544832000 \) - \( 89544832000 \times 19 = 1703961648000 \) - \( 1703961648000 \times 18 = 30671208864000 \) - \( 30671208864000 \times 17 = 520432368768000 \) - \( 520432368768000 \times 16 = 8326917884288000 \) - В знаменателе: - \( 12! = 479001600 \) 6. **Вычислим окончательный результат**: \[ C(27, 12) = \frac{8326917884288000}{479001600} = 17383860 \] ### Ответ: Классный руководитель может выбрать 12 школьников из 27 — **17383860** способами.