Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 шралусов , а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.Найдите гипотенузу треугольника
Чтобы решить задачу, давайте внимательно разберёмся с условиями. У нас есть прямоугольный треугольник, где один из углов равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника.
- Обозначим гипотенузу как \( c \).
- Пусть меньший катет будет \( a \), а больший катет — \( b \).
Шаг 2: Используем свойства углов и сторон треугольника. В прямоугольном треугольнике с углом в 60 градусов мы можем использовать следующие соотношения:
- Противолежащая сторона (меньший катет \( a \)) относится к гипотенузе \( c \) следующим образом:
\[ a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
- Прилежащая сторона (больший катет \( b \)) относится к гипотенузе \( c \):
\[ b = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \]
Шаг 3: Формулируем данное уравнение. Согласно условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см:
\[ c + a = 26,4 \]
Подставляем выражение для \( a \):
\[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26,4 \]
Шаг 4: Упростим уравнение. Преобразуем уравнение:
\[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26,4 \]
Теперь упрощаем выражение в скобках:
\[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]
Следовательно,
\[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 26,4 \]
Шаг 5: Выразим \( c \). Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ c(2 + \sqrt{3}) = 52,8 \]
Теперь поделим обе стороны на \( 2 + \sqrt{3} \):
\[ c = \frac{52,8}{2 + \sqrt{3}} \]
Шаг 6: Уточним значение. Для нахождения численного значения \( c \), примерно приравняем \( \sqrt{3} \approx 1,732 \):
\[ 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1,732 \approx 3,732 \]
Теперь подставим это значение:
\[ c \approx \frac{52,8}{3,732} \approx 14,14 \, \text{см} \]
Таким образом, гипотенуза треугольника составляет примерно \( 14,14 \, \text{см} \).
Это и будет ответ на задачу.
