Чтобы решить задачу, давайте внимательно разберёмся с условиями. У нас есть прямоугольный треугольник, где один из углов равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника.
- Обозначим гипотенузу как ( c ).
- Пусть меньший катет будет ( a ), а больший катет — ( b ).
Шаг 2: Используем свойства углов и сторон треугольника.
В прямоугольном треугольнике с углом в 60 градусов мы можем использовать следующие соотношения:
- Противолежащая сторона (меньший катет ( a )) относится к гипотенузе ( c ) следующим образом:
[ a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]
- Прилежащая сторона (больший катет ( b )) относится к гипотенузе ( c ):
[ b = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} ]
Шаг 3: Формулируем данное уравнение.
Согласно условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см:
[ c + a = 26,4 ]
Подставляем выражение для ( a ):
[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26,4 ]
Шаг 4: Упростим уравнение.
Преобразуем уравнение:
[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26,4 ]
Теперь упрощаем выражение в скобках:
[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} ]
Следовательно,
[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 26,4 ]
Шаг 5: Выразим ( c ).
Умножим обе стороны уравнения на 2:
[ c(2 + \sqrt{3}) = 52,8 ]
Теперь поделим обе стороны на ( 2 + \sqrt{3} ):
[ c = \frac{52,8}{2 + \sqrt{3}} ]
Шаг 6: Уточним значение.
Для нахождения численного значения ( c ), примерно приравняем ( \sqrt{3} \approx 1,732 ):
[ 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1,732 \approx 3,732 ]
Теперь подставим это значение:
[ c \approx \frac{52,8}{3,732} \approx 14,14 , \text{см} ]
Таким образом, гипотенуза треугольника составляет примерно ( 14,14 , \text{см} ).
Это и будет ответ на задачу.
