(x+1) (x+2) (x+3) (x+4) =1680

Для решения уравнения \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 1680\) начнем с пошагового анализа. ### Шаг 1: Преобразование уравнения У нас есть произведение четырех последовательных чисел, что делает задачу интересной. Если мы рассмотрим, что \( (x+1)(x+4) \) и \( (x+2)(x+3) \) могут упростить нашу задачу, то можем заметить, что: \[ (x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4 \] \[ (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6 \] ### Шаг 2: Переписывание уравнения Теперь можем записать уравнение в виде: \[ (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 1680 \] Обозначим \(y = x^2 + 5x\), тогда у нас получится: \[ (y + 4)(y + 6) = 1680 \] ### Шаг 3: Упрощение Раскроем скобки: \[ y^2 + 10y + 24 = 1680 \] Теперь можем перенести 1680 в левую часть уравнения: \[ y^2 + 10y + 24 - 1680 = 0 \] \[ y^2 + 10y - 1656 = 0 \] ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1656) = 100 + 6624 = 6724 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{6724}}{2} \] \[ \sqrt{6724} = 82 \] Следовательно, корни: \[ y = \frac{-10 + 82}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] \[ y = \frac{-10 - 82}{2} = \frac{-92}{2} = -46 \quad (\text{это не подходит, так как } y \geq 0) \] ### Шаг 5: Находим \(x\) Теперь вернёмся к значению \(y\): \[ x^2 + 5x = 36 \] Перепишем это как: \[ x^2 + 5x - 36 = 0 \] Решим и это уравнение через дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \] Корни: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2} \] Следовательно: 1. \(x = \frac{8}{2} = 4\) 2. \(x = \frac{-18}{2} = -9 \quad (\text{это не подходит для данного уравнения})\) ### Ответ Таким образом, единственное подходящее решение: \[ \boxed{4} \] Мы проверили, подставив \(x = 4\) обратно в исходное уравнение: \[ (4+1)(4+2)(4+3)(4+4) = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 1680 \] Убедились, что решение верное.