(x+1) (x+2) (x+3) (x+4) =1680
Для решения уравнения \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 1680\) начнем с пошагового анализа.
Шаг 1: Преобразование уравнения
У нас есть произведение четырех последовательных чисел, что делает задачу интересной. Если мы рассмотрим, что \( (x+1)(x+4) \) и \( (x+2)(x+3) \) могут упростить нашу задачу, то можем заметить, что:
\[ (x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4 \] \[ (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6 \]
Шаг 2: Переписывание уравнения
Теперь можем записать уравнение в виде:
\[ (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 1680 \]
Обозначим \(y = x^2 + 5x\), тогда у нас получится:
\[ (y + 4)(y + 6) = 1680 \]
Шаг 3: Упрощение
Раскроем скобки:
\[ y^2 + 10y + 24 = 1680 \]
Теперь можем перенести 1680 в левую часть уравнения:
\[ y^2 + 10y + 24 - 1680 = 0 \] \[ y^2 + 10y - 1656 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1656) = 100 + 6624 = 6724 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{6724}}{2} \] \[ \sqrt{6724} = 82 \] Следовательно, корни:
\[ y = \frac{-10 + 82}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] \[ y = \frac{-10 - 82}{2} = \frac{-92}{2} = -46 \quad (\text{это не подходит, так как } y \geq 0) \]
Шаг 5: Находим \(x\)
Теперь вернёмся к значению \(y\):
\[ x^2 + 5x = 36 \]
Перепишем это как:
\[ x^2 + 5x - 36 = 0 \]
Решим и это уравнение через дискриминант:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \]
Корни:
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2} \]
Следовательно:
- \(x = \frac{8}{2} = 4\)
- \(x = \frac{-18}{2} = -9 \quad (\text{это не подходит для данного уравнения})\)
Ответ
Таким образом, единственное подходящее решение:
\[ \boxed{4} \]
Мы проверили, подставив \(x = 4\) обратно в исходное уравнение:
\[ (4+1)(4+2)(4+3)(4+4) = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 1680 \]
Убедились, что решение верное.
