Известно, что периметр равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 52 равен 140. Чему равна площадь трапеции?

Для решения задачи о нахождении площади равнобедренной трапеции, нужно воспользоваться следующими шагами.

1. Понимание данных:
   У нас есть равнобедренная трапеция с основаниями \( a = 20 \) и \( b = 52 \), а также периметром \( P = 140 \).

2. Формула периметра:
   Периметр трапеции вычисляется по формуле: \[ P = a + b + 2c \] где \( c \) — это длина боковой стороны (которая равна для обеих сторон, так как трапеция равнобедренная).

3. Подставляем известные данные:
   Подставим известные значения в формулу периметра: \[ 140 = 20 + 52 + 2c \]

4. Преобразуем уравнение:
   Сначала сложим основания: \[ 140 = 72 + 2c \] Теперь вычтем 72 из обеих сторон: \[ 140 - 72 = 2c \\ 68 = 2c \] Теперь разделим на 2, чтобы найти длину боковой стороны: \[ c = \frac{68}{2} = 34 \]

5. Поиск высоты трапеции:
   Для нахождения площади трапеции, сначала найдем её высоту. Используем теорему Пифагора в прямом треугольнике, образованном высотой \( h \), половиной разности оснований (при проведении высоты) и боковой стороной: \[ \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 + h^2 = c^2 \] Подставим значения: \[ \left(\frac{52 - 20}{2}\right)^2 + h^2 = 34^2 \\ \left(\frac{32}{2}\right)^2 + h^2 = 1156 \\ 16^2 + h^2 = 1156 \\ 256 + h^2 = 1156 \] Теперь вычтем 256 из обеих сторон: \[ h^2 = 1156 - 256 \\ h^2 = 900 \] Теперь извлечем корень: \[ h = \sqrt{900} = 30 \]

6. Расчет площади:
   Площадь \( S \) трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] Теперь подставим наши известные значения: \[ S = \frac{(20 + 52) \cdot 30}{2} \\ S = \frac{72 \cdot 30}{2} \\ S = \frac{2160}{2} \\ S = 1080 \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет 1080 квадратных единиц.