упростить выражение. (2+i)⁵ представьте ответ в виде: a+bi Ответ a= b=
Для упрощения выражения \((2+i)^5\) воспользуемся формулой бинома Ньютона.
Шаг 1: Применяем формулу бинома Ньютона
Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
В нашем случае \(a = 2\), \(b = i\) и \(n = 5\).
Шаг 2: Подставляем значения
Мы можем записать:
\[ (2 + i)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \cdot 2^{5-k} \cdot i^k \]
Шаг 3: Вычисляем суммы по каждому \(k\)
Теперь вычислим каждую часть суммы для \(k = 0\) до \(k = 5\):
Для \(k = 0\): \[ \binom{5}{0} \cdot 2^5 \cdot i^0 = 1 \cdot 32 \cdot 1 = 32 \]
Для \(k = 1\): \[ \binom{5}{1} \cdot 2^4 \cdot i^1 = 5 \cdot 16 \cdot i = 80i \]
Для \(k = 2\): \[ \binom{5}{2} \cdot 2^3 \cdot i^2 = 10 \cdot 8 \cdot (-1) = -80 \]
Для \(k = 3\): \[ \binom{5}{3} \cdot 2^2 \cdot i^3 = 10 \cdot 4 \cdot (-i) = -40i \]
Для \(k = 4\): \[ \binom{5}{4} \cdot 2^1 \cdot i^4 = 5 \cdot 2 \cdot 1 = 10 \]
Для \(k = 5\): \[ \binom{5}{5} \cdot 2^0 \cdot i^5 = 1 \cdot 1 \cdot i = i \]
Шаг 4: Суммируем все найденные элементы
Теперь мы складываем все результаты из вышеупомянутых степеней:
\[ 32 + 80i - 80 - 40i + 10 + i = (32 - 80 + 10) + (80i - 40i + i) = -38 + 41i \]
Итоговый ответ
Теперь представим ответ в виде \(a + bi\):
- \(a = -38\)
- \(b = 41\)
Ответ: \[ a = -38, \quad b = 41 \]
