Вычислите радиус основания цилиндра. Дан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 150 π см². Высота цилиндра в 3 раза меньше радиуса основания цилиндра. Ответ: ? см.

Чтобы найти радиус основания цилиндра, мы можем воспользоваться формулами, связанными с боковой поверхностью цилиндра и его высотой. Давайте разберём задачу по шагам.

Шаг 1: Формулы

1. Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле: \[ S_{бок} = 2 \pi r h \] где \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности, \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота цилиндра.

2. Из условия задачи нам дана площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = 150\pi \, \text{см}^2 \]

3. Высота цилиндра равна "в 3 раза меньше радиуса основания", что можно записать как: \[ h = \frac{r}{3} \]

Шаг 2: Подставим выражение для высоты

Теперь подставим выражение для высоты \( h \) в формулу для площади боковой поверхности: \[ S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi r \left(\frac{r}{3}\right) \] Упростим это выражение: \[ S_{бок} = 2 \pi r \cdot \frac{r}{3} = \frac{2 \pi r^2}{3} \]

Шаг 3: Приравняем к данному значению

Теперь мы можем приравнять это выражение к значению площади, которое нам дано: \[ \frac{2 \pi r^2}{3} = 150 \pi \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Теперь избавимся от \( \pi \) с обеих сторон уравнения: \[ \frac{2 r^2}{3} = 150 \]

Шаг 5: Умножим обе стороны на 3

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 2 r^2 = 450 \]

Шаг 6: Разделим на 2

Теперь разделим обе стороны на 2: \[ r^2 = 225 \]

Шаг 7: Извлечём квадратный корень

Теперь извлечём квадратный корень из обеих сторон: \[ r = \sqrt{225} = 15 \, \text{см} \]

Ответ

Таким образом, радиус основания данного цилиндра равен \( 15 \, \text{см} \).