Чтобы найти радиус основания цилиндра, мы можем воспользоваться формулами, связанными с боковой поверхностью цилиндра и его высотой. Давайте разберём задачу по шагам.
Шаг 1: Формулы
Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:
[
S_{бок} = 2 \pi r h
]
где ( S_{бок} ) — площадь боковой поверхности, ( r ) — радиус основания, ( h ) — высота цилиндра.
Из условия задачи нам дана площадь боковой поверхности:
[
S_{бок} = 150\pi , \text{см}^2
]
Высота цилиндра равна "в 3 раза меньше радиуса основания", что можно записать как:
[
h = \frac{r}{3}
]
Шаг 2: Подставим выражение для высоты
Теперь подставим выражение для высоты ( h ) в формулу для площади боковой поверхности:
[
S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi r \left(\frac{r}{3}\right)
]
Упростим это выражение:
[
S_{бок} = 2 \pi r \cdot \frac{r}{3} = \frac{2 \pi r^2}{3}
]
Шаг 3: Приравняем к данному значению
Теперь мы можем приравнять это выражение к значению площади, которое нам дано:
[
\frac{2 \pi r^2}{3} = 150 \pi
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Теперь избавимся от ( \pi ) с обеих сторон уравнения:
[
\frac{2 r^2}{3} = 150
]
Шаг 5: Умножим обе стороны на 3
Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
[
2 r^2 = 450
]
Шаг 6: Разделим на 2
Теперь разделим обе стороны на 2:
[
r^2 = 225
]
Шаг 7: Извлечём квадратный корень
Теперь извлечём квадратный корень из обеих сторон:
[
r = \sqrt{225} = 15 , \text{см}
]
Ответ
Таким образом, радиус основания данного цилиндра равен ( 15 , \text{см} ).
