18. Острый угол BB прямоугольного треугольника ABC равен 53∘. Найди угол между высотой CH и медианой CD, проведёнными из вершины прямого угла.
Решим задачу по нахождению угла между высотой \( CH \) и медианой \( CD \), которые проведены из вершины прямого угла \( C \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) с острым углом \( \angle ABC = 53^\circ \).
Шаг 1: Определим известные углы.
Пусть \( A \) – это вершина треугольника против стороны \( BC \), тогда \( \angle ACB = 90^\circ \) (так как треугольник прямоугольный), и \( \angle ABC = 53^\circ \).
Мы можем найти угол \( \angle CAB \): \[ \angle CAB = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ. \]
Шаг 2: Определим направление высоты \( CH \) и медианы \( CD \).
Высота \( CH \): высота из вершины \( C \) перпендикулярна основанию \( AB \) и делит угол \( \angle ACB = 90^\circ \) на два угла \( 90^\circ - \angle CAB \) и \( 90^\circ - \angle ABC \). Поэтому угол \( \angle HCB = 90^\circ - \angle CAB = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ \), а угол \( \angle HCA = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \).
Медиана \( CD \): медиана из вершины \( C \) делит сторону \( AB \) пополам, и ее угол с горизонтальной линией (или с основанием \( AB \)) можно определить следующим образом. Медиана делит \( \angle ACB \) в отношении длин сторон. Таким образом, угол \( \angle DCB \) можно найти с помощью формул, учитывающих углы:
Угол между медианой и высотой в остром угле \( CAB \) будет равен: \[ \angle DCH = \frac{1}{2} \angle CAB = \frac{1}{2} \cdot 37^\circ = 18.5^\circ. \]
Шаг 3: Найдем угол между высотой и медианой.
Итак, угол \( \angle HCD \) между высотой \( CH \) и медианой \( CD \): \[ \angle HCD = \angle HCA - \angle DCB. \] Мы знаем, что:
- \( \angle HCA = 37^\circ \)
- \( \angle DCB = 18.5^\circ \)
Теперь можем вычислить: \[ \angle HCD = 37^\circ - 18.5^\circ = 18.5^\circ. \]
Ответ:
Таким образом, угол между высотой \( CH \) и медианой \( CD \) равен \( 18.5^\circ \).
