у+4/у+2=2у-1/у решить с помощью дру

Для решения уравнения \( \frac{u + 4}{u + 2} = \frac{2u - 1}{u} \) у нас есть несколько шагов, следуя которым мы сможем найти значение переменной \( u \). Давайте разберем это поэтапно.

Шаг 1: Устранение дробей

Для начала мы можем избавиться от дробей, умножив обе стороны уравнения на общий знаменатель. В данном случае общим знаменателем будет \( u(u + 2) \).

\[ u(u + 2) \cdot \frac{u + 4}{u + 2} = u(u + 2) \cdot \frac{2u - 1}{u} \]

Теперь упрощаем обе стороны:

Слева: \[ u(u + 4) = u^2 + 4u \]

Справа: \[ (u + 2)(2u - 1) = 2u^2 + 4u - u - 2 = 2u^2 + 3u - 2 \]

Шаг 2: Упрощение уравнения

Теперь у нас получается уравнение: \[ u^2 + 4u = 2u^2 + 3u - 2 \]

Переносим все члены в одну сторону: \[ u^2 + 4u - 2u^2 - 3u + 2 = 0 \]

Упрощаем: \[ -u^2 + u + 2 = 0 \]

Шаг 3: Приводим к стандартному виду

Умножаем на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: \[ u^2 - u - 2 = 0 \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \).

Считаем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Теперь подставляем значения в формулу: \[ u = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \] \[ u = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Шаг 5: Находим корни

Теперь решаем две системы:

1. \( u = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( u = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Таким образом, у нас есть два решения: \[ u_1 = 2 \quad \text{и} \quad u_2 = -1 \]

Шаг 6: Проверка

Теперь нам нужно проверить, подходят ли эти корни к изначальному уравнению. Подставим каждый из найденных корней в уравнение:

1. Для \( u = 2 \): \[ \frac{2 + 4}{2 + 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Проверим правую часть: \[ \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2} \] \( \text{Согласуется.} \)

2. Для \( u = -1 \): \[ \frac{-1 + 4}{-1 + 2} = \frac{3}{1} = 3 \] Проверим правую часть: \[ \frac{2 \cdot (-1) - 1}{-1} = \frac{-2 - 1}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 \] \( \text{Согласуется.} \)

Ответ

Таким образом, решения уравнения: \[ u = 2 \quad \text{и} \quad u = -1 \]