Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение. Мы имеем следующую информацию:
- Общее количество деталей ( n = 10 ).
- Вероятность отклонения от нормы ( p = 0,4 ).
- Нам нужно найти вероятность того, что из 10 деталей ровно 5 будут с отклонением, т.е. ( k = 5 ).
Биномиальная вероятность рассчитывается по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае отклонение от нормы).
- ( (1 - p) ) — вероятность неудачи (в нашем случае без отклонения от нормы).
- ( n ) — общее количество испытаний.
- ( k ) — количество успешных испытаний (в нашем случае — количество деталей с отклонением).
Теперь подставим наши значения в формулу.
- Сначала найдем биномиальный коэффициент ( C(10, 5) ):
[
C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252
]
- Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot (1 - p)^{10 - 5}
]
Где:
- ( p^5 = (0,4)^5 )
- ( (1 - p)^{n - k} = (0,6)^5 )
Теперь вычислим:
[
P(X = 5) = 252 \cdot (0,4)^5 \cdot (0,6)^5
]
- Найдем ( (0,4)^5 ) и ( (0,6)^5 ):
[
(0,4)^5 = 0,01024
]
[
(0,6)^5 = 0,07776
]
- Подставим найденные значения в формулу:
[
P(X = 5) = 252 \cdot 0,01024 \cdot 0,07776
]
Теперь умножим числа:
[
252 \cdot 0,01024 = 2,58048
]
[
2,58048 \cdot 0,07776 \approx 0,200658
]
Таким образом, вероятность того что в данной партии 5 деталей с отклонением составляет примерно ( 0,2007 ) или ( 20,07% ).
Ответ: Вероятность того, что в данной партии есть 5 деталей с отклонением от нормы, составляет примерно 20,07%.
