В партии 10 деталей. Вероятность отклонения наминала равна 0,4. Найти веррятностт того, что в данной партии есть 5 деталей с отклонением от наминала.
Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение. Мы имеем следующую информацию:
- Общее количество деталей \( n = 10 \).
- Вероятность отклонения от нормы \( p = 0,4 \).
- Нам нужно найти вероятность того, что из 10 деталей ровно 5 будут с отклонением, т.е. \( k = 5 \).
Биномиальная вероятность рассчитывается по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае отклонение от нормы).
- \( (1 - p) \) — вероятность неудачи (в нашем случае без отклонения от нормы).
- \( n \) — общее количество испытаний.
- \( k \) — количество успешных испытаний (в нашем случае — количество деталей с отклонением).
Теперь подставим наши значения в формулу.
- Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(10, 5) \):
\[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot (1 - p)^{10 - 5} \]
Где:
- \( p^5 = (0,4)^5 \)
- \( (1 - p)^{n - k} = (0,6)^5 \)
Теперь вычислим:
\[ P(X = 5) = 252 \cdot (0,4)^5 \cdot (0,6)^5 \]
- Найдем \( (0,4)^5 \) и \( (0,6)^5 \):
\[ (0,4)^5 = 0,01024 \]
\[ (0,6)^5 = 0,07776 \]
- Подставим найденные значения в формулу:
\[ P(X = 5) = 252 \cdot 0,01024 \cdot 0,07776 \]
Теперь умножим числа:
\[ 252 \cdot 0,01024 = 2,58048 \] \[ 2,58048 \cdot 0,07776 \approx 0,200658 \]
Таким образом, вероятность того что в данной партии 5 деталей с отклонением составляет примерно \( 0,2007 \) или \( 20,07\% \).
Ответ: Вероятность того, что в данной партии есть 5 деталей с отклонением от нормы, составляет примерно 20,07%.
