Для решения задачи о вероятности выпадения числа на игральной кости, нам нужно использовать формулу для биномиального распределения. Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- Это задача о вероятности, где у нас есть фиксированное количество событий (в данном случае, подбрасываний игральной кости).
- Вероятность того, что при каждом подбрасывании выпадет 3 (успех), равна (p = \frac{1}{6}), так как у обычной игральной кости 6 сторон.
- Вероятность того, что выпадает не 3 (неуспех), равна (q = 1 - p = \frac{5}{6}).
- Общее количество подбрасываний (экспериментов) — (n = 9).
- Мы хотим найти вероятность того, что 3 выпадет ровно 1 раз, поэтому число успешных случаев (k = 1).
Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
]
где:
- (P(X = k)) — вероятность того, что событие произойдет именно (k) раз,
- (\binom{n}{k}) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить как (\frac{n!}{k!(n-k)!}),
- (p) — вероятность успеха,
- (q) — вероятность неуспеха.
Шаг 3: Подставим значения в формулу
В нашем случае:
- (n = 9)
- (k = 1)
- (p = \frac{1}{6})
- (q = \frac{5}{6})
Сначала вычислим биномиальный коэффициент (\binom{9}{1}):
[
\binom{9}{1} = \frac{9!}{1!(9-1)!} = \frac{9!}{1! \cdot 8!} = 9
]
Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(X = 1) = \binom{9}{1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^{9-1}
]
Это можно упростить:
[
P(X = 1) = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8}
]
Шаг 4: Вычислим значение
Теперь найдем (\left(\frac{5}{6}\right)^{8}):
[
\left(\frac{5}{6}\right)^{8} = \frac{5^8}{6^8} = \frac{390625}{1679616}
]
Теперь подставим это значение:
[
P(X = 1) = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{390625}{1679616}\right)
]
Упрощаем дальше:
[
P(X = 1) = \frac{9 \cdot 390625}{6 \cdot 1679616} = \frac{3515625}{10077696}
]
Шаг 5: Переведем в проценты
Теперь найдем приблизительное значение:
[
P(X = 1) \approx 0.348678
]
Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100:
[
P(X = 1) \approx 34.87%
]
Ответ
Вероятность того, что при 9 подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадет 3, составляет приблизительно 34.87%.
