Петя с друзьями по субботам собираются и играют в настольные игры. Определи вероятность того, что при 9 Петиных подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадет 3. (Ответ…

Для решения задачи о вероятности выпадения числа на игральной кости, нам нужно использовать формулу для биномиального распределения. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определим параметры задачи

• Это задача о вероятности, где у нас есть фиксированное количество событий (в данном случае, подбрасываний игральной кости).
• Вероятность того, что при каждом подбрасывании выпадет 3 (успех), равна \(p = \frac{1}{6}\), так как у обычной игральной кости 6 сторон.
• Вероятность того, что выпадает не 3 (неуспех), равна \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\).
• Общее количество подбрасываний (экспериментов) — \(n = 9\).
• Мы хотим найти вероятность того, что 3 выпадет ровно 1 раз, поэтому число успешных случаев \(k = 1\).

Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения

Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где:

• \(P(X = k)\) — вероятность того, что событие произойдет именно \(k\) раз,
• \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \(p\) — вероятность успеха,
• \(q\) — вероятность неуспеха.

Шаг 3: Подставим значения в формулу

В нашем случае:

• \(n = 9\)
• \(k = 1\)
• \(p = \frac{1}{6}\)
• \(q = \frac{5}{6}\)

Сначала вычислим биномиальный коэффициент \(\binom{9}{1}\):

\[ \binom{9}{1} = \frac{9!}{1!(9-1)!} = \frac{9!}{1! \cdot 8!} = 9 \]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(X = 1) = \binom{9}{1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^{9-1} \]

Это можно упростить:

\[ P(X = 1) = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8} \]

Шаг 4: Вычислим значение

Теперь найдем \(\left(\frac{5}{6}\right)^{8}\):

\[ \left(\frac{5}{6}\right)^{8} = \frac{5^8}{6^8} = \frac{390625}{1679616} \]

Теперь подставим это значение:

\[ P(X = 1) = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{390625}{1679616}\right) \]

Упрощаем дальше:

\[ P(X = 1) = \frac{9 \cdot 390625}{6 \cdot 1679616} = \frac{3515625}{10077696} \]

Шаг 5: Переведем в проценты

Теперь найдем приблизительное значение:

\[ P(X = 1) \approx 0.348678 \]

Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100:

\[ P(X = 1) \approx 34.87\% \]

Ответ

Вероятность того, что при 9 подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадет 3, составляет приблизительно 34.87%.