Чтобы найти косинус угла ( B ) в треугольнике ( ABC ), можно воспользоваться теоремой косинусов. Она формулируется следующим образом:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
]
где:
- ( c ) — длина стороны, противоположной углу ( C ),
- ( a ) и ( b ) — длины двух других сторон треугольника.
В данной задаче у нас есть:
- ( AB = 8 ) (это сторона, которую мы обозначим как ( c )),
- ( AC = 14 ) (это сторона, которую мы обозначим как ( b )),
- ( BC = 10 ) (это сторона, которую мы обозначим как ( a )).
Здесь углом ( B ) будет угол между сторонами ( AC ) и ( AB ).
Поэтому мы можем записать теорему косинусов для угла ( B ):
[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos B
]
Подставим известные значения:
[
10^2 = 8^2 + 14^2 - 2 \cdot 8 \cdot 14 \cdot \cos B
]
Теперь подставим значения квадратов:
[
100 = 64 + 196 - 2 \cdot 8 \cdot 14 \cdot \cos B
]
Сложим числа:
[
100 = 260 - 224 \cdot \cos B
]
Теперь выразим ( \cos B ):
[
224 \cdot \cos B = 260 - 100
]
[
224 \cdot \cos B = 160
]
Разделим обе стороны на 224:
[
\cos B = \frac{160}{224}
]
Сократим дробь:
[
\cos B = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}
]
Таким образом, значение косинуса угла ( B ) в треугольнике ( ABC ) равно:
[
\cos B = \frac{5}{7}
]
Ответ:
(\cos B = \frac{5}{7})
