Диагональ BD прямоугольника ABCD со стороной ВС образует угол в 30°. Вычисли диагональ BD, если сторона DC равна 54 см.

Решим задачу шаг за шагом.

1. Понимание условий задачи:

   • У нас есть прямоугольник ABCD.
   • Сторона DC равна 54 см.
   • Угол между диагональю BD и стороной BC равен 30°.

2. Схема прямоугольника:

   • В прямоугольнике ABCD угол D является прямым, и поэтому угол BDC = 90°.
   • Стороны прямоугольника ABCD: AB и DC (54 см) — противолежащие, BC и AD — также равны.

3. Обозначения:

   • Обозначим сторону AB как x. Поскольку прямоугольник, то BC также равен x.

4. Используем тригонометрию:

   • Мы знаем угол BDC = 30° и можем использовать тангенс для нахождения стороны AB (или BC): \[ \tan(BDC) = \frac{DC}{BC} = \frac{54}{x} \] Зная, что \(\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), получаем уравнение: \[ \frac{54}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

5. Вырешение уравнения:

   • Умножаем обе стороны на \(x\sqrt{3}\): \[ 54\sqrt{3} = x \] То есть: \[ x = 54\sqrt{3} \, \text{см} \] Теперь мы знаем, что стороны AB и BC равны \(54\sqrt{3} \, \text{см}\).

6. Нахождение диагонали BD:

   • Диагональ BD в прямоугольнике рассчитывается по формуле: \[ BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] Подставляем значения: \[ BD = \sqrt{(54\sqrt{3})^2 + (54)^2} \] Рассчитаем: \[ BD = \sqrt{(54^2 \cdot 3) + (54^2)} = \sqrt{54^2(3 + 1)} = \sqrt{54^2 \cdot 4} \] \[ BD = 54\sqrt{4} = 54 \cdot 2 = 108 \, \text{см} \]

7. Ответ: Диагональ BD равна 108 см.

Таким образом, мы нашли диагональ через тригонометрические соотношения и свойства прямоугольника.