-х(8-3х)(7+4х)>0

Для решения неравенства \( -x(8 - 3x)(7 + 4x) > 0 \) давайте распишем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем нули выражения

Сначала нужно найти значения \( x \), при которых выражение равно нулю. Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( -x = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\)
2. \( 8 - 3x = 0 \) \(\Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}\)
3. \( 7 + 4x = 0 \) \(\Rightarrow 4x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{4}\)

Таким образом, у нас есть три критических точки:

• \( x = 0 \)
• \( x = \frac{8}{3} \)
• \( x = -\frac{7}{4} \)

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь определим интервалы, которые образуют эти критические точки:

1. \( (-\infty, -\frac{7}{4}) \)
2. \( (-\frac{7}{4}, 0) \)
3. \( (0, \frac{8}{3}) \)
4. \( (\frac{8}{3}, +\infty) \)

Шаг 3: Проверим знаки в каждом интервале

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак произведения.

1. Интервал \( (-\infty, -\frac{7}{4}) \) (например, \( x = -2 \)): \[ -(-2)(8 - 3(-2))(7 + 4(-2)) = 2(8 + 6)(7 - 8) = 2(14)(-1) < 0 \]

2. Интервал \( (-\frac{7}{4}, 0) \) (например, \( x = -1 \)): \[ -(-1)(8 - 3(-1))(7 + 4(-1)) = 1(8 + 3)(7 - 4) = 1(11)(3) > 0 \]

3. Интервал \( (0, \frac{8}{3}) \) (например, \( x = 1 \)): \[ -(1)(8 - 3(1))(7 + 4(1)) = -(1)(8 - 3)(7 + 4) = -1(5)(11) < 0 \]

4. Интервал \( (\frac{8}{3}, +\infty) \) (например, \( x = 3 \)): \[ -(3)(8 - 3(3))(7 + 4(3)) = -(3)(8 - 9)(7 + 12) = -(3)(-1)(19) > 0 \]

Шаг 4: Подведем итог

Теперь мы знаем, где неравенство выполняется:

• В интервале \( (-\frac{7}{4}, 0) \): \((+) > 0\)
• В интервале \( (\frac{8}{3}, +\infty) \): \((+) > 0\)

Шаг 5: Запишем ответ

Так как мы ищем, где выражение больше нуля, то решение неравенства: \[ x \in \left( -\frac{7}{4}, 0 \right) \cup \left( \frac{8}{3}, +\infty \right) \]

Вот и все! Надеюсь, это объяснение помогло тебе понять, как решать подобные неравенства! Если будут дополнительные вопросы — не стесняйся спрашивать!