-х(8-3х)(7+4х)>0

Для решения неравенства \( -x(8 - 3x)(7 + 4x) > 0 \) давайте распишем решение шаг за шагом. ### Шаг 1: Найдем нули выражения Сначала нужно найти значения \( x \), при которых выражение равно нулю. Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. \( -x = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\) 2. \( 8 - 3x = 0 \) \(\Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}\) 3. \( 7 + 4x = 0 \) \(\Rightarrow 4x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{4}\) Таким образом, у нас есть три критических точки: - \( x = 0 \) - \( x = \frac{8}{3} \) - \( x = -\frac{7}{4} \) ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь определим интервалы, которые образуют эти критические точки: 1. \( (-\infty, -\frac{7}{4}) \) 2. \( (-\frac{7}{4}, 0) \) 3. \( (0, \frac{8}{3}) \) 4. \( (\frac{8}{3}, +\infty) \) ### Шаг 3: Проверим знаки в каждом интервале Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак произведения. 1. **Интервал \( (-\infty, -\frac{7}{4}) \)** (например, \( x = -2 \)): \[ -(-2)(8 - 3(-2))(7 + 4(-2)) = 2(8 + 6)(7 - 8) = 2(14)(-1) < 0 \] 2. **Интервал \( (-\frac{7}{4}, 0) \)** (например, \( x = -1 \)): \[ -(-1)(8 - 3(-1))(7 + 4(-1)) = 1(8 + 3)(7 - 4) = 1(11)(3) > 0 \] 3. **Интервал \( (0, \frac{8}{3}) \)** (например, \( x = 1 \)): \[ -(1)(8 - 3(1))(7 + 4(1)) = -(1)(8 - 3)(7 + 4) = -1(5)(11) < 0 \] 4. **Интервал \( (\frac{8}{3}, +\infty) \)** (например, \( x = 3 \)): \[ -(3)(8 - 3(3))(7 + 4(3)) = -(3)(8 - 9)(7 + 12) = -(3)(-1)(19) > 0 \] ### Шаг 4: Подведем итог Теперь мы знаем, где неравенство выполняется: - В интервале \( (-\frac{7}{4}, 0) \): \((+) > 0\) - В интервале \( (\frac{8}{3}, +\infty) \): \((+) > 0\) ### Шаг 5: Запишем ответ Так как мы ищем, где выражение больше нуля, то решение неравенства: \[ x \in \left( -\frac{7}{4}, 0 \right) \cup \left( \frac{8}{3}, +\infty \right) \] Вот и все! Надеюсь, это объяснение помогло тебе понять, как решать подобные неравенства! Если будут дополнительные вопросы — не стесняйся спрашивать!