-3х(2+10х)(12-6х)≥0

Для решения неравенства \(-3x(2 + 10x)(12 - 6x) \geq 0\), давайте разберемся с каждым из множителей и определим, при каких значениях \(x\) выражение выполняется. ### Шаг 1: Найти корни 1. **Первый множитель:** \(-3x\) - Для этого множителя равенство \( -3x = 0 \) выполняется при \( x = 0 \). 2. **Второй множитель:** \(2 + 10x\) - Для этого множителя равенство \( 2 + 10x = 0 \) выполняется при: \[ 10x = -2 \implies x = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}. \] 3. **Третий множитель:** \(12 - 6x\) - Для этого множителя равенство \( 12 - 6x = 0 \) выполняется при: \[ 6x = 12 \implies x = \frac{12}{6} = 2. \] Таким образом, мы нашли корни: \(x = 0\), \(x = -\frac{1}{5}\), и \(x = 2\). ### Шаг 2: Определить интервал знаков Теперь мы знаем три корня, и они разбивают числовую ось на четыре интервалы: 1. \((-\infty, -\frac{1}{5})\) 2. \((- \frac{1}{5}, 0)\) 3. \((0, 2)\) 4. \((2, +\infty)\) Теперь проверим знак выражения \(-3x(2 + 10x)(12 - 6x)\) на каждом интервале. - **Интервал \((-\infty, -\frac{1}{5})\)**: - Выберем \(x = -1\): \[ -3(-1)(2 + 10(-1))(12 - 6(-1)) = -3(-1)(2 - 10)(12 + 6) = -3(-1)(-8)(18) > 0. \] - **Интервал \((- \frac{1}{5}, 0)\)**: - Выберем \(x = -\frac{1}{10}\): \[ -3\left(-\frac{1}{10}\right)\left(2 + 10\left(-\frac{1}{10}\right)\right)\left(12 - 6\left(-\frac{1}{10}\right)\right) = -3\left(-\frac{1}{10}\right)(2 - 1)(12 + \frac{3}{5}) > 0. \] - **Интервал \((0, 2)\)**: - Выберем \(x = 1\): \[ -3(1)(2 + 10(1))(12 - 6(1)) = -3(1)(2 + 10)(12 - 6) = -3(1)(12)(6) < 0. \] - **Интервал \((2, +\infty)\)**: - Выберем \(x = 3\): \[ -3(3)(2 + 10(3))(12 - 6(3)) = -3(3)(2 + 30)(12 - 18) < 0. \] ### Шаг 3: Подвести итоги Итак, знаки для каждого интервала: 1. \((-\infty, -\frac{1}{5})\): положительно 2. \((- \frac{1}{5}, 0)\): положительно 3. \((0, 2)\): отрицательно 4. \((2, +\infty)\): отрицательно ### Шаг 4: Определить, где выражение \(-3x(2 + 10x)(12 - 6x) \geq 0\) Выражение неравенства \(-3x(2 + 10x)(12 - 6x) \geq 0\) выполняется в следующих интервалах: - Включая границы: - \(x = -\frac{1}{5}\) (поскольку множитель равен нулю) - \(x = 0\) #### Ответ: Итак, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -\frac{1}{5}] \cup [0, 2) \] Эти интервалы являются решениями для данного неравенства.