-3х(2+10х)(12-6х)≥0

Для решения неравенства \(-3x(2 + 10x)(12 - 6x) \geq 0\), давайте разберемся с каждым из множителей и определим, при каких значениях \(x\) выражение выполняется.

Шаг 1: Найти корни

1. Первый множитель: \(-3x\)

   • Для этого множителя равенство \( -3x = 0 \) выполняется при \( x = 0 \).

2. Второй множитель: \(2 + 10x\)

   • Для этого множителя равенство \( 2 + 10x = 0 \) выполняется при: \[ 10x = -2 \implies x = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}. \]

3. Третий множитель: \(12 - 6x\)

   • Для этого множителя равенство \( 12 - 6x = 0 \) выполняется при: \[ 6x = 12 \implies x = \frac{12}{6} = 2. \]

Таким образом, мы нашли корни: \(x = 0\), \(x = -\frac{1}{5}\), и \(x = 2\).

Шаг 2: Определить интервал знаков

Теперь мы знаем три корня, и они разбивают числовую ось на четыре интервалы:

1. \((-\infty, -\frac{1}{5})\)
2. \((- \frac{1}{5}, 0)\)
3. \((0, 2)\)
4. \((2, +\infty)\)

Теперь проверим знак выражения \(-3x(2 + 10x)(12 - 6x)\) на каждом интервале.

• Интервал \((-\infty, -\frac{1}{5})\):

  • Выберем \(x = -1\): \[ -3(-1)(2 + 10(-1))(12 - 6(-1)) = -3(-1)(2 - 10)(12 + 6) = -3(-1)(-8)(18) > 0. \]

• Интервал \((- \frac{1}{5}, 0)\):

  • Выберем \(x = -\frac{1}{10}\): \[ -3\left(-\frac{1}{10}\right)\left(2 + 10\left(-\frac{1}{10}\right)\right)\left(12 - 6\left(-\frac{1}{10}\right)\right) = -3\left(-\frac{1}{10}\right)(2 - 1)(12 + \frac{3}{5}) > 0. \]

• Интервал \((0, 2)\):

  • Выберем \(x = 1\): \[ -3(1)(2 + 10(1))(12 - 6(1)) = -3(1)(2 + 10)(12 - 6) = -3(1)(12)(6) < 0. \]

• Интервал \((2, +\infty)\):

  • Выберем \(x = 3\): \[ -3(3)(2 + 10(3))(12 - 6(3)) = -3(3)(2 + 30)(12 - 18) < 0. \]

Шаг 3: Подвести итоги

Итак, знаки для каждого интервала:

1. \((-\infty, -\frac{1}{5})\): положительно
2. \((- \frac{1}{5}, 0)\): положительно
3. \((0, 2)\): отрицательно
4. \((2, +\infty)\): отрицательно

Шаг 4: Определить, где выражение \(-3x(2 + 10x)(12 - 6x) \geq 0\)

Выражение неравенства \(-3x(2 + 10x)(12 - 6x) \geq 0\) выполняется в следующих интервалах:

• Включая границы:
  • \(x = -\frac{1}{5}\) (поскольку множитель равен нулю)
  • \(x = 0\)

Ответ:

Итак, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -\frac{1}{5}] \cup [0, 2) \]

Эти интервалы являются решениями для данного неравенства.