Укажите предложения, в которых наречия пишутся через дефис. (По) прежнему пути они не поехали. Варенье варили (по) старинному рецепту. Я иду (по) осеннему лесу. Одет он был (по)…

Чтобы разобраться с заданием, давайте сначала узнаем, в каких случаях наречия пишутся через дефис. В русском языке наречия с предлогами пишутся через дефис, если это устойчивые словосочетания, которые часто употребляются вместе и имеют определённое значение.

Теперь рассмотрим ваши примеры по порядку:

1. (По) прежнему пути они не поехали.
   Здесь "по-прежнему" — это наречие, образованное от существительного "прежний". Пишется через дефис.

2. Варенье варили (по) старинному рецепту.
   В данном случае "по старинному" не является наречием и не требует дефиса, так как это простое предло́жное сочетание, мы не пишем через дефис.

3. Я иду (по) осеннему лесу.
   Сложение не является наречным. Не требует дефиса.

4. Одет он был (по) дачному: без воротничка.
   "По дачному" — это также не наречие, а предложное сочетание. Дефис не нужен.

5. (По) осеннему шепчутся деревья.
   Аналогично предыдущим примерам, не требует дефиса, так как это простое сочетание.

6. Дуняша слушала, приоткрыв (по) детски рот.
   "По-детски" — это уже наречие, образованное от прилагательного "детский", и пишется через дефис.

Итак, подводя итог, в ваших предложениях наречия, которые пишутся через дефис:

• (по) прежнему (по-прежнему)
• (по) детски (по-детски)

Данные наречия требуют дефиса, так как они употребляются в значении, характерном для устойчивых словосочетаний.