Чтобы определить, в каком из предложений нет ошибок, мы проанализируем каждое из них на наличие грамматических и стилистических недочетов.
Mike promised they would show the new musical in London.
Это предложение без явных грамматических ошибок. Структура предложена правильно, и смысл ясен. Здесь используется будущее время для выражения обещания.Jane explained that the Moon rotated round the Earth.
Это предложение также является корректным, но в более строгом научном контексте обычно говорят, что "Луна вращается вокруг Земли", а не "rotated round the Earth". Тем не менее, это может быть допустимо, но формально принято использовать "around", а не "round".Everybody knew that Murmansk was in the north of our.
В этом предложении присутствует ошибка. Слово "our" не завершено и, следовательно, не имеет смысла. Правильная форма должна быть "in the north of our country" или "in the north of our region".
Из вышеуказанного анализа можно сделать вывод, что первое предложение Mike promised they would show the new musical in London не содержит ошибок. Второе предложение может вызвать вопросы в отношении стилистики, а третье предложение явно неправильно.
Таким образом, правильный ответ: Mike promised they would show the new musical in London.