2. Докажите

Давайте разберём задачу:

\[ (x - 5)^2 + 3x > 7(1 - x) \]

Шаг 1: Раскроем скобки

• Раскроем первое выражение: \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\).
• Раскроем правую часть: \(7(1 - x) = 7 - 7x\).

Теперь уравнение выглядит так: \[ x^2 - 10x + 25 + 3x > 7 - 7x \]

Шаг 2: Приведём подобные члены

• Объединим все члены с \(x\): \(x^2 - 10x + 3x + 7x + 25 > 7\)

• Это упрощается до: \(x^2 - 10x + 10x + 25 > 7\)

• Что упрощается дальше до: \(x^2 + 25 > 7\)

Шаг 3: Упростим и решим неравенство

• Перенесём все влево: \(x^2 + 25 - 7 > 0\)

• Упростим: \(x^2 + 18 > 0\)

Шаг 4: Анализ

• Это неравенство \(x^2 + 18 > 0\) верно для всех вещественных \(x\), так как любая квадратная функция \(x^2\) всегда больше или равна нулю и 18 добавляет минимальное значение. Следовательно, это неравенство действительно для всех значений \(x\).

Итак, неравенство доказано. \(x^2 + 18 > 0\) всегда истинно.