в минутах, прошедшее после начала работы лебедки, 20 град. / мин начальная угловая скорость вращения катушки, а В-8 град. / мин2 - угло- вое ускорение, с которым наматывается…

Для решения данной задачи будем использовать формулы кинематики вращательного движения. У нас есть начальная угловая скорость, угловое ускорение и угол, на который катушка намотала кабель.

1. Дано:

   • Начальная угловая скорость (\( \omega_0 \)) = 20 град./мин
   • Угловое ускорение (\( \alpha \)) = 8 град./мин²
   • Угол намотки (\( \varphi \)) = 4200°

2. Формула угла вращения: Угол вращения (\( \varphi \)) с учетом начальной угловой скорости и углового ускорения можно выразить с помощью следующей формулы: \[ \varphi = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \] где

   • \( \varphi \) — угол (в градусах),
   • \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость (в градусах/мин),
   • \( \alpha \) — угловое ускорение (в градусах/мин²),
   • \( t \) — время (в минутах).

3. Подставим известные значения: \[ 4200 = 20t + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot t^2 \] Упростим уравнение: \[ 4200 = 20t + 4t^2 \] Пер rearrangем уравнение так, чтобы все члены перенести в одну сторону: \[ 4t^2 + 20t - 4200 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение: Мы решим уравнение вида \( at^2 + bt + c = 0 \), где:

   • \( a = 4 \)
   • \( b = 20 \)
   • \( c = -4200 \)

   Чтобы найти корни, используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4200) \] \[ D = 400 + 67200 = 67600 \]

5. Найдём корни уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{67600}}{2 \cdot 4} \] \[ \sqrt{67600} = 260 \] \[ t = \frac{-20 \pm 260}{8} \]

   Теперь найдем два возможных значения для времени \( t \):

   1. \( t_1 = \frac{-20 + 260}{8} = \frac{240}{8} = 30 \)
   2. \( t_2 = \frac{-20 - 260}{8} = \frac{-280}{8} = -35 \) (это значение не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным).

6. Итак, время, прошедшее после начала работы лебедки: \[ t = 30 \text{ минут} \]

Таким образом, через 30 минут катушка наматывает кабель на угол 4200°.