В минутах, прошедшее после начала работы лебедки, 20 град. / мин начальная угловая скорость вращения катушки, а В-8 град. / мин2 - угло- вое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки ф достиг 4200°. Ответ дайте в минутах.

Для решения данной задачи будем использовать формулы кинематики вращательного движения. У нас есть начальная угловая скорость, угловое ускорение и угол, на который катушка намотала кабель. 1. **Дано:** - Начальная угловая скорость (\( \omega_0 \)) = 20 град./мин - Угловое ускорение (\( \alpha \)) = 8 град./мин² - Угол намотки (\( \varphi \)) = 4200° 2. **Формула угла вращения:** Угол вращения (\( \varphi \)) с учетом начальной угловой скорости и углового ускорения можно выразить с помощью следующей формулы: \[ \varphi = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \] где - \( \varphi \) — угол (в градусах), - \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость (в градусах/мин), - \( \alpha \) — угловое ускорение (в градусах/мин²), - \( t \) — время (в минутах). 3. **Подставим известные значения:** \[ 4200 = 20t + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot t^2 \] Упростим уравнение: \[ 4200 = 20t + 4t^2 \] Пер rearrangем уравнение так, чтобы все члены перенести в одну сторону: \[ 4t^2 + 20t - 4200 = 0 \] 4. **Решим квадратное уравнение:** Мы решим уравнение вида \( at^2 + bt + c = 0 \), где: - \( a = 4 \) - \( b = 20 \) - \( c = -4200 \) Чтобы найти корни, используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4200) \] \[ D = 400 + 67200 = 67600 \] 5. **Найдём корни уравнения:** \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{67600}}{2 \cdot 4} \] \[ \sqrt{67600} = 260 \] \[ t = \frac{-20 \pm 260}{8} \] Теперь найдем два возможных значения для времени \( t \): 1. \( t_1 = \frac{-20 + 260}{8} = \frac{240}{8} = 30 \) 2. \( t_2 = \frac{-20 - 260}{8} = \frac{-280}{8} = -35 \) (это значение не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным). 6. **Итак, время, прошедшее после начала работы лебедки:** \[ t = 30 \text{ минут} \] Таким образом, через 30 минут катушка наматывает кабель на угол 4200°.