Идеальная игральная кость имеет форму восьмигранника. Грани пронумерованы числами от 1 до 8. Кость бросают трижды. Сколько существует различных уникальных результатов? Считайте,…

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с условиями. Идеальная игральная кость имеет форму восьмигранника, и на каждой грани написаны числа от 1 до 8. Мы бросаем кость три раза и хотим узнать количество уникальных результатов, при этом последовательность результатов не важна. Это означает, что (1; 2) и (2; 1) считаются одинаковыми.

Шаг 1: Определим задачу

Нам нужно найти количество различных уникальных комбинаций, которые можно получить при броске кости три раза. Например, если мы получили числа 1, 2 и 3, это одна комбинация, а если мы получили 2, 2 и 3 — это другая, учитывая, что порядок не важен.

Шаг 2: Используем формулу для сочетаний с повторениями

Поскольку одно и то же число может появляться несколько раз (например, 3, 3, 3 или 2, 2, 5 и т.д.), мы будем использовать комбинаторный подход для решения этой задачи.

Формула для расчета количества сочетаний с повторениями выглядит так:

\[ C(n + r - 1, r) \]

где:

• \( n \) — количество различных элементов, в нашем случае это 8 (числа от 1 до 8),
• \( r \) — количество выбираемых элементов, в данном случае это 3 (три броска).

Шаг 3: Подставляем значения в формулу

Подставляем \( n = 8 \) и \( r = 3 \):

\[ C(8 + 3 - 1, 3) = C(10, 3) \]

Шаг 4: Вычисляем \( C(10, 3) \)

Формула для вычисления сочетаний выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Для нашего случая:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \]

Мы можем упростить это:

\[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \]

Ответ

Общее количество различных уникальных результатов, которые могут быть получены при трёх бросках восьмигранной кости, равно 120.