Давайте разберем каждое из предложений на предмет наличия ошибок:
"Та не решенная проблема останется с вами надолго"
Ошибка: слово "не решенная" должно быть написано как "нераспределенная" (с дефисом), поскольку это составное прилагательное. Правильный вариант: "Та нерешенная проблема останется с вами надолго.""У нас остался один не решенный, а только рассмотренный вопрос"
Ошибка: "не решенный" должно быть написано слитно, как "нераспределённый". Правильный вариант: "У нас остался один нерешенный, а только рассмотренный вопрос.""Не решенный вопрос мучил его всю ночь"
Ошибка: здесь также нужно писать "нераспределённый" слитно. Правильный вариант: "Нерешенный вопрос мучил его всю ночь.""У нас остался последний не решенный вопрос"
Ошибка: и в этом предложении "не решенный" пишется слитно. Правильный вариант: "У нас остался последний нерешенный вопрос."
Таким образом, все предложения содержат ошибки, однако, если рассматривать только корректные варианты, то правильное предложение будет: "У нас остался последний нерешенный вопрос."
На самом деле, во всех предложениях содержится одно и то же правило: "не решенный" нужно писать слитно как "нерешенный".