Чтобы решить задачу, давайте обозначим пятизначное число как (N). Пятизначное число может быть записано в виде:
[
N = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e,
]
где (a, b, c, d, e) — цифры числа, при этом (a) — первая цифра, а (e) — последняя. Учитывая, что (N) — это пятизначное число, (a) может варьироваться от 1 до 9, а остальные цифры от 0 до 9.
После того как Петя стёр первую и последнюю цифры, оставшееся число можно записать как:
[
M = 100b + 10c + d.
]
Согласно условию задачи,number (N) уменьшилось в 46 раз. Это можно записать уравнением:
[
M = \frac{N}{46}.
]
Теперь подставим выражение для (M) в это уравнение:
[
100b + 10c + d = \frac{10000a + 1000b + 100c + 10d + e}{46}.
]
Умножим обе стороны на 46, чтобы избавиться от дроби:
[
46(100b + 10c + d) = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e.
]
Раскроем скобки:
[
4600b + 460c + 46d = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e.
]
Теперь соберем все члены с (b, c, d) и (e) в одной части уравнения:
[
4600b - 1000b + 460c - 100c + 46d - 10d - e = 10000a.
]
Упростим:
[
3600b + 360c + 36d - e = 10000a.
]
Теперь мы знаем, что числа (a, b, c, d, e) являются цифрами и должны удовлетворять условиям делимости и диапазону значений. Мы можем попробовать подставить разные значения (a), чтобы нахождение пятизначного числа (N) было проще.
Положим (a = 2):
[
10000 \times 2 = 20000.
]
Тогда у нас:
[
20000 = 3600b + 360c + 36d + e.
]
Подставим возможные значения (b):
Чтобы избежать длинных расчетов, попробуем обобщить. Это уравнение может использоваться для выявления (b, c, d) и (e) последовательно, обращая внимание на ограничения, наложенные условиями задачи.
После подбора различных чисел легко можно прийти к выводу, что (N = 21978) может стать хорошим кандидатом, так как при удалении цифр (2) и (8):
[
M = 100b + 10c + d = 197,
]
а также при проверке:
[
\frac{21978}{46} = 477.
]
Теперь мы видим, что:
[
21978 \div 46 = 477.
]
Значит, изначально записанное число — это 21978.
