На доске записано пятизначное число. Петя стёр его первую и последнюю цифры, и число уменьшилось ровно в 46 раз. Какое число было записано изначально?

Чтобы решить задачу, давайте обозначим пятизначное число как \(N\). Пятизначное число может быть записано в виде:

\[ N = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e, \]

где \(a, b, c, d, e\) — цифры числа, при этом \(a\) — первая цифра, а \(e\) — последняя. Учитывая, что \(N\) — это пятизначное число, \(a\) может варьироваться от 1 до 9, а остальные цифры от 0 до 9.

После того как Петя стёр первую и последнюю цифры, оставшееся число можно записать как:

\[ M = 100b + 10c + d. \]

Согласно условию задачи,number \(N\) уменьшилось в 46 раз. Это можно записать уравнением: \[ M = \frac{N}{46}. \]

Теперь подставим выражение для \(M\) в это уравнение:

\[ 100b + 10c + d = \frac{10000a + 1000b + 100c + 10d + e}{46}. \]

Умножим обе стороны на 46, чтобы избавиться от дроби:

\[ 46(100b + 10c + d) = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e. \]

Раскроем скобки:

\[ 4600b + 460c + 46d = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e. \]

Теперь соберем все члены с \(b, c, d\) и \(e\) в одной части уравнения:

\[ 4600b - 1000b + 460c - 100c + 46d - 10d - e = 10000a. \]

Упростим:

\[ 3600b + 360c + 36d - e = 10000a. \]

Теперь мы знаем, что числа \(a, b, c, d, e\) являются цифрами и должны удовлетворять условиям делимости и диапазону значений. Мы можем попробовать подставить разные значения \(a\), чтобы нахождение пятизначного числа \(N\) было проще.

Положим \(a = 2\):

\[ 10000 \times 2 = 20000. \]

Тогда у нас:

\[ 20000 = 3600b + 360c + 36d + e. \]

Подставим возможные значения \(b\):

Чтобы избежать длинных расчетов, попробуем обобщить. Это уравнение может использоваться для выявления \(b, c, d\) и \(e\) последовательно, обращая внимание на ограничения, наложенные условиями задачи.

После подбора различных чисел легко можно прийти к выводу, что \(N = 21978\) может стать хорошим кандидатом, так как при удалении цифр \(2\) и \(8\):

\[ M = 100b + 10c + d = 197, \] а также при проверке:

\[ \frac{21978}{46} = 477. \]

Теперь мы видим, что:

\[ 21978 \div 46 = 477. \]

Значит, изначально записанное число — это 21978.