реши

Давайте разберем задачу.

Часть а)

Дано уравнение:

\[ 3 \log_2(\sin x) - 5 \log_2(\sin x) - 2 = 0 \]

1. Упрощение уравнения:

   • \( 3 \log_2(\sin x) - 5 \log_2(\sin x) = -2 \log_2(\sin x) \)
   • Уравнение станет: \[ -2 \log_2(\sin x) - 2 = 0 \]

2. Решаем уравнение:

   • Переносим \( -2 \) на другую сторону: \[ -2 \log_2(\sin x) = 2 \]
   • Делим обе стороны на \(-2\): \[ \log_2(\sin x) = -1 \]

3. Избавляемся от логарифма:

   • \( \sin x = 2^{-1} \)
   • \( \sin x = \frac{1}{2} \)

4. Находим \( x \):

   • Задача сводится к нахождению значений \( x \), при которых \(\sin x = \frac{1}{2}\).
   • Это соответствует углам \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Часть б)

Найдем корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]\).

1. Углы на данном отрезке:

   • Для \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \):

     • При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \), принадлежит отрезку.
     • Для других \( k \): \( x > 2\pi \), не подходят.

   • Для \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \):

     • При \( k = 0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \), принадлежит отрезку.
     • Для других \( k \): \( x > 2\pi \), не подходят.

2. Ответ:

   • Значения \( x \), принадлежащие отрезку: \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).

Таким образом, мы нашли решения уравнения и указали корни, лежащие в данном интервале.