1. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а среднее геометрическое 12. Найти эти числа. 2.Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на…

Задача 1: Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел

Шаг 1: Обозначим числа

Обозначим два числа как \( x \) и \( y \).

Шаг 2: Запишем условия задачи

1. Среднее арифметическое: \[ \frac{x + y}{2} = 20 \] Умножим обе стороны на 2: \[ x + y = 40 \quad \text{(1)} \]

2. Среднее геометрическое: \[ \sqrt{xy} = 12 \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ xy = 144 \quad \text{(2)} \]

Шаг 3: Система уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( x + y = 40 \)
2. \( xy = 144 \)

Шаг 4: Выразим \( y \) через \( x \)

Из уравнения (1) выразим \( y \): \[ y = 40 - x \]

Шаг 5: Подставим \( y \) в уравнение (2)

Теперь подставим это значение в уравнение (2): \[ x(40 - x) = 144 \] Упростим: \[ 40x - x^2 = 144 \] Преобразуем в стандартный вид: \[ x^2 - 40x + 144 = 0 \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Решим уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024 \]

Теперь найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{1024}}{2} = \frac{40 \pm 32}{2} \] Находим два значения: \[ x_1 = \frac{72}{2} = 36, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Шаг 7: Найдем \( y \)

Теперь найдём \( y \) для каждого значения \( x \):

1. Когда \( x = 36 \): \[ y = 40 - 36 = 4 \]
2. Когда \( x = 4 \): \[ y = 40 - 4 = 36 \]

Ответ

Итак, числа: \( 36 \) и \( 4 \).

Задача 2: Периметр и площади квадратов на смежных сторонах прямоугольника

Шаг 1: Обозначим стороны

Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).

Шаг 2: Запишем условия задачи

1. Периметр: \[ 2(a + b) = 28 \] Упрощаем: \[ a + b = 14 \quad \text{(3)} \]

2. Сумма площадей квадратов: \[ a^2 + b^2 = 116 \quad \text{(4)} \]

Шаг 3: Используем формулу для суммы квадратов

Мы можем выразить \( b \) из уравнения (3): \[ b = 14 - a \]

Подставим \( b \) в уравнение (4): \[ a^2 + (14 - a)^2 = 116 \]

Шаг 4: Раскроем скобки

Распишем второй член: \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 116 \] Упрощаем: \[ 2a^2 - 28a + 196 = 116 \] Преобразуем: \[ 2a^2 - 28a + 80 = 0 \] Делим на 2: \[ a^2 - 14a + 40 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Находим дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 \]

Теперь находим корни: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 6}{2} \] Корни: \[ a_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad a_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Шаг 6: Найдем \( b \)

Теперь найдём \( b \) для каждого значения \( a \):

1. Когда \( a = 10 \): \[ b = 14 - 10 = 4 \]
2. Когда \( a = 4 \): \[ b = 14 - 4 = 10 \]

Ответ

Стороны прямоугольника: \( 10 \) см и \( 4 \) см.