Задача 1: Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел
Шаг 1: Обозначим числа
Обозначим два числа как ( x ) и ( y ).
Шаг 2: Запишем условия задачи
Среднее арифметическое:
[
\frac{x + y}{2} = 20
]
Умножим обе стороны на 2:
[
x + y = 40 \quad \text{(1)}
]
Среднее геометрическое:
[
\sqrt{xy} = 12
]
Возведем обе стороны в квадрат:
[
xy = 144 \quad \text{(2)}
]
Шаг 3: Система уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( x + y = 40 )
- ( xy = 144 )
Шаг 4: Выразим ( y ) через ( x )
Из уравнения (1) выразим ( y ):
[
y = 40 - x
]
Шаг 5: Подставим ( y ) в уравнение (2)
Теперь подставим это значение в уравнение (2):
[
x(40 - x) = 144
]
Упростим:
[
40x - x^2 = 144
]
Преобразуем в стандартный вид:
[
x^2 - 40x + 144 = 0
]
Шаг 6: Решим квадратное уравнение
Решим уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024
]
Теперь найдем корни:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{1024}}{2} = \frac{40 \pm 32}{2}
]
Находим два значения:
[
x_1 = \frac{72}{2} = 36, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4
]
Шаг 7: Найдем ( y )
Теперь найдём ( y ) для каждого значения ( x ):
- Когда ( x = 36 ):
[
y = 40 - 36 = 4
]
- Когда ( x = 4 ):
[
y = 40 - 4 = 36
]
Ответ
Итак, числа: ( 36 ) и ( 4 ).
Задача 2: Периметр и площади квадратов на смежных сторонах прямоугольника
Шаг 1: Обозначим стороны
Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).
Шаг 2: Запишем условия задачи
Периметр:
[
2(a + b) = 28
]
Упрощаем:
[
a + b = 14 \quad \text{(3)}
]
Сумма площадей квадратов:
[
a^2 + b^2 = 116 \quad \text{(4)}
]
Шаг 3: Используем формулу для суммы квадратов
Мы можем выразить ( b ) из уравнения (3):
[
b = 14 - a
]
Подставим ( b ) в уравнение (4):
[
a^2 + (14 - a)^2 = 116
]
Шаг 4: Раскроем скобки
Распишем второй член:
[
a^2 + (196 - 28a + a^2) = 116
]
Упрощаем:
[
2a^2 - 28a + 196 = 116
]
Преобразуем:
[
2a^2 - 28a + 80 = 0
]
Делим на 2:
[
a^2 - 14a + 40 = 0
]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Находим дискриминант:
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36
]
Теперь находим корни:
[
a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 6}{2}
]
Корни:
[
a_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad a_2 = \frac{8}{2} = 4
]
Шаг 6: Найдем ( b )
Теперь найдём ( b ) для каждого значения ( a ):
- Когда ( a = 10 ):
[
b = 14 - 10 = 4
]
- Когда ( a = 4 ):
[
b = 14 - 4 = 10
]
Ответ
Стороны прямоугольника: ( 10 ) см и ( 4 ) см.
