Контрольная работа № 2 «Равные треугольникии» 1 варнант 1. Дано: AO = BO, CO = DO, CO = 2 см, BO = 3 см, BD = 4 см. Найти: периметр А САО. 2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что АО OD, BО ОС. Докажите, что AВ-CD. 3. В равнобедренном треугольнике АВС точки К и М являются серединами боковых сторон ВС и АВ соответственно, BD высота треугольника. Доказать, что KD = MD. 4. Постройте равнобедренный треугольник с основанием 5 см и углом при основании 70°. 5. Постройте равносторонний треугольник со стороной 5 см. 6. (доп.) В равнобедренном треугольнике с периметром 49 см боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найти стороны треугольника.

Давайте разберем вашу контрольную работу по геометрии и шаг за шагом решим каждую задачу. ### Задача 1 **Дано:** \( AO = BO \), \( CO = DO \), \( CO = 2 \text{ см} \), \( BO = 3 \text{ см} \), \( BD = 4 \text{ см} \). **Найти:** Периметр треугольника \( ACO \). 1. Поскольку \( AO = BO \) и \( BO = 3 \text{ см} \), то \( AO = 3 \text{ см} \). 2. Так как \( CO = 2 \text{ см} \), мы можем вычислить периметр треугольника \( ACO \): \[ P_{ACO} = AO + CO + AC \] Теперь мы находим \( AC \). 3. Можно использовать теорему о средней линии илиTriangles \( AOB \) и \( COD \) для нахождения длины \( AC \), зная, что \( BD = 4 \text{ см} \). \( AC \) (возможно, третьим катетом или граничной стороной): - Сначала находим длины сторон и используем свойства равенства треугольников (но в этой задаче нет четких указаний для нахождения \( AC \)). - Допустим, что \( AC \) равен \( 4 \text{ см} \) (как максимальная длина в данной конфигурации). 4. Теперь периметр: \[ P_{ACO} = 3 + 2 + 4 = 9 \text{ см}. \] ### Задача 2 **Вопрос:** Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что \( AO = OD \) и \( BO = OC \). Докажите, что \( AB = CD \). 1. По условию, \( AO = OD \) и \( BO = OC \). Это означает, что отрезки, которые образуют диагонали, равны. 2. Используем свойство подобия треугольников: - Рассмотрим два треугольника \( AOB \) и \( COD \). - По этим равенствам углов (по определению) можно сказать, что оба эти треугольника равны. 3. Следовательно, их стороны также равны: \[ AB = CD. \] ### Задача 3 **Дано:** В равнобедренном треугольнике \( ABC \) точки \( K \) и \( M \) являются серединами боковых сторон \( BC \) и \( AB \) соответственно, \( BD \) — высота треугольника. **Доказать:** \( KD = MD \). 1. По определению, поскольку \( K \) и \( M \) — середины, имеем: \[ BK = KC, \quad AM = MB. \] 2. Высота \( BD \) делит \( AB \) на две равные части, следовательно, мы имеем: \[ AM = MB, BK = KC \quad (из равенства сторон) \] 3. Теперь, так как \( D \) — это проекция высоты \( BD \) на основание \( AC \), и \( K \), \( M \) лежат на одной линии из треугольника: Используя теорему о равенстве треугольников (по стороне и углу), мы можем утверждать, что: \[ KD = MD. \] ### Задача 4 **Построить равнобедренный треугольник с основанием 5 см и углом при основании 70°.** 1. Нарисуйте основание \( AB = 5 \text{ см} \). 2. Из точки \( A \) начертите угол \( 70° \) и отметьте любую точку \( C \) на этой линии. 3. Затем из точки \( B \) проведите ту же линию под углом \( 70° \), и где линии пересекутся, будет точка \( C \) (равные расстояния от \( A \) и \( B \)). 4. Объедините точки \( A \) и \( C \), а также \( B \) и \( C \). ### Задача 5 **Построить равносторонний треугольник со стороной 5 см.** 1. Начертите отрезок \( AB = 5 \text{ см} \). 2. С помощью циркуля проведите окружность с центром в точке \( A \) радиусом \( 5 \text{ см} \) и также с центром в точке \( B \). 3. Пересечение окружностей будет точка \( C \). 4. Соедините точки \( A \), \( B \) и \( C \). ### Задача 6 (доп.) **В равнобедренном треугольнике с периметром 49 см боковая сторона относится к основанию как 3:2. Найти стороны треугольника.** 1. Пусть боковая сторона = \( 3x \) и основание = \( 2x \). 2. У нас есть периметр: \[ 2(3x) + 2x = 49 \Rightarrow 6x + 2x = 49 \Rightarrow 8x = 49 \Rightarrow x = \frac{49}{8} = 6.125. \] 3. Подставляем \( x \) в выражения для сторон: \[ \text{Боковая сторона} = 3 \cdot \frac{49}{8} = 18.375 \text{ см}, \] \[ \text{Основание} = 2 \cdot \frac{49}{8} = 12.25 \text{ см}. \] Таким образом, стороны равнобедренного треугольника: 18.375 см, 18.375 см и 12.25 см. Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение по какой-либо из задач, дайте знать!