Контрольная работа № 2 «Равные треугольникии» 1 варнант 1. Дано: AO = BO, CO = DO, CO = 2 см, BO = 3 см, BD = 4 см. Найти: периметр А САО. 2. Диагонали четырехугольника ABCD…

Давайте разберем вашу контрольную работу по геометрии и шаг за шагом решим каждую задачу.

Задача 1

Дано: \( AO = BO \), \( CO = DO \), \( CO = 2 \text{ см} \), \( BO = 3 \text{ см} \), \( BD = 4 \text{ см} \).
Найти: Периметр треугольника \( ACO \).

1. Поскольку \( AO = BO \) и \( BO = 3 \text{ см} \), то \( AO = 3 \text{ см} \).

2. Так как \( CO = 2 \text{ см} \), мы можем вычислить периметр треугольника \( ACO \): \[ P_{ACO} = AO + CO + AC \] Теперь мы находим \( AC \).

3. Можно использовать теорему о средней линии илиTriangles \( AOB \) и \( COD \) для нахождения длины \( AC \), зная, что \( BD = 4 \text{ см} \). \( AC \) (возможно, третьим катетом или граничной стороной):

   • Сначала находим длины сторон и используем свойства равенства треугольников (но в этой задаче нет четких указаний для нахождения \( AC \)).
   • Допустим, что \( AC \) равен \( 4 \text{ см} \) (как максимальная длина в данной конфигурации).

4. Теперь периметр: \[ P_{ACO} = 3 + 2 + 4 = 9 \text{ см}. \]

Задача 2

Вопрос: Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что \( AO = OD \) и \( BO = OC \). Докажите, что \( AB = CD \).

1. По условию, \( AO = OD \) и \( BO = OC \). Это означает, что отрезки, которые образуют диагонали, равны.
2. Используем свойство подобия треугольников:
   • Рассмотрим два треугольника \( AOB \) и \( COD \).
   • По этим равенствам углов (по определению) можно сказать, что оба эти треугольника равны.
3. Следовательно, их стороны также равны: \[ AB = CD. \]

Задача 3

Дано: В равнобедренном треугольнике \( ABC \) точки \( K \) и \( M \) являются серединами боковых сторон \( BC \) и \( AB \) соответственно, \( BD \) — высота треугольника.
Доказать: \( KD = MD \).

1. По определению, поскольку \( K \) и \( M \) — середины, имеем: \[ BK = KC, \quad AM = MB. \]

2. Высота \( BD \) делит \( AB \) на две равные части, следовательно, мы имеем: \[ AM = MB, BK = KC \quad (из равенства сторон) \]

3. Теперь, так как \( D \) — это проекция высоты \( BD \) на основание \( AC \), и \( K \), \( M \) лежат на одной линии из треугольника:

   Используя теорему о равенстве треугольников (по стороне и углу), мы можем утверждать, что: \[ KD = MD. \]

Задача 4

Построить равнобедренный треугольник с основанием 5 см и углом при основании 70°.

1. Нарисуйте основание \( AB = 5 \text{ см} \).
2. Из точки \( A \) начертите угол \( 70° \) и отметьте любую точку \( C \) на этой линии.
3. Затем из точки \( B \) проведите ту же линию под углом \( 70° \), и где линии пересекутся, будет точка \( C \) (равные расстояния от \( A \) и \( B \)).
4. Объедините точки \( A \) и \( C \), а также \( B \) и \( C \).

Задача 5

Построить равносторонний треугольник со стороной 5 см.

1. Начертите отрезок \( AB = 5 \text{ см} \).
2. С помощью циркуля проведите окружность с центром в точке \( A \) радиусом \( 5 \text{ см} \) и также с центром в точке \( B \).
3. Пересечение окружностей будет точка \( C \).
4. Соедините точки \( A \), \( B \) и \( C \).

Задача 6 (доп.)

В равнобедренном треугольнике с периметром 49 см боковая сторона относится к основанию как 3:2. Найти стороны треугольника.

1. Пусть боковая сторона = \( 3x \) и основание = \( 2x \).
2. У нас есть периметр: \[ 2(3x) + 2x = 49 \Rightarrow 6x + 2x = 49 \Rightarrow 8x = 49 \Rightarrow x = \frac{49}{8} = 6.125. \]
3. Подставляем \( x \) в выражения для сторон: \[ \text{Боковая сторона} = 3 \cdot \frac{49}{8} = 18.375 \text{ см}, \] \[ \text{Основание} = 2 \cdot \frac{49}{8} = 12.25 \text{ см}. \]

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника: 18.375 см, 18.375 см и 12.25 см.

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение по какой-либо из задач, дайте знать!