Давайте разберем задачу о тригонометрических отношениях в прямоугольном треугольнике. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Дано значение синуса угла A:
[
\sin A = \frac{9 \sqrt{181}}{181}
]
Наша цель — найти тангенс угла A, то есть (\tan A).
Шаг 1: Найдем косинус угла A
В тригонометрии есть важное соотношение между синусом и косинусом. Для любого угла можно использовать следующую формулу:
[
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
]
Сначала найдём (\sin^2 A):
[
\sin^2 A = \left(\frac{9 \sqrt{181}}{181}\right)^2 = \frac{81 \cdot 181}{181^2} = \frac{81}{181}
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
\frac{81}{181} + \cos^2 A = 1
]
Решим уравнение для (\cos^2 A):
[
\cos^2 A = 1 - \frac{81}{181} = \frac{181 - 81}{181} = \frac{100}{181}
]
Теперь найдем косинус угла A:
[
\cos A = \sqrt{\frac{100}{181}} = \frac{10}{\sqrt{181}}
]
Шаг 2: Найдем тангенс угла A
Теперь мы знаем значения (\sin A) и (\cos A). Тангенс угла A определяется как отношение синуса к косинусу:
[
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}
]
Подставим найденные значения:
[
\tan A = \frac{\frac{9 \sqrt{181}}{181}}{\frac{10}{\sqrt{181}}}
]
Чтобы сократить дробь, можно умножить на обратное значение косинуса:
[
\tan A = \frac{9 \sqrt{181}}{181} \cdot \frac{\sqrt{181}}{10}
]
После сокращения ((\sqrt{181}) и (\sqrt{181}) будут сокращены):
[
\tan A = \frac{9 \cdot 181}{181 \cdot 10} = \frac{9}{10}
]
Ответ
Таким образом, тангенс угла A равен:
[
\tan A = \frac{9}{10}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дальнейшая помощь, дайте знать!
