Чтобы определить, в каком из предложений выделенное слово является деепричастием, необходимо сначала разобраться, что такое деепричастие и как оно входит во фразеологические обороты.
Деепричастие — это форма глагола, которая обозначает действие, происходящее одновременно с действием основного глагола, и отвечает на вопросы "что делая?", "что сделав?". Например, "идя", "говоря", "услышав".
Фразеологический оборот — это устойчивое сочетание слов, которое имеет значение, отличающееся от значений входящих в него слов. Например, "работать спустя рукава" - означает работать небрежно, без старания.
Теперь рассмотрим предложенные варианты:
Первое предложение:
"Впоследствии, много лет спустя, Петя узнал, что время императора Александра 2 пуговицы у офицеров были без Орлов."
Здесь нет слов-действий, поэтому это предложение не подходит.
Второе предложение:
"Укорял он меня всю дорогу за то, что мы ничего не делаем, работаем спустя рукава."
"Спустя рукава" - это фразеологизм, но здесь нет деепричастия.
Третье предложение:
"Три года спустя, уже в Германии, Синяев напал на след Огаркова."
Слова "три года спустя" также не являются деепричастием.
Таким образом, анализируя предложенные варианты, можно заметить, что единственным примерами фразеологических оборотов являются "работаем спустя рукава", но в нём нет деепричастия. В данном контексте следует отметить, что среди предоставленных предложений не содержится ни одного фразеологического оборота с деепричастиями.
Если нужно, чтобы я сделал что-то другое по этой теме, дайте знать!