Условие задания: B CА = 64 см; СВ = 120 см. Найди АВ и синус и косинус угла В. (В ответе дроби сократи до несократимого вида!) Ответ: AB sin B cos B

Для нахождения стороны \( AB \) и углов \( B \) в треугольнике \( ABC \) используем теорему косинусов.

Дано:

• \( CA = 64 \, \text{см} \)
• \( CB = 120 \, \text{см} \)

Сначала найдем \( AB \):

По теореме косинусов:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos B \]

Для начала необходимо найти \( \cos B \). Однако для этого нам нужно выразить сторону \( AB \). Мы можем использовать закон синусов для нахождения угла \( B \):

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B} \]

Но у нас нет углов. Давайте найдем \( AB \) в контексте более простого подхода:

Если предположить, что мы сделаем это через систему уравнений, используя формулу Геральда для данной конфигурации треугольника, у нас всего 3 стороны, и один треугольник – это система.

Решение будет следующим:

1. Изображаем вектора: Сначала найдем \( AB \) с помощью формулы:

\[ \cos B = \frac{CA^2 + CB^2 - AB^2}{2 \cdot CA \cdot CB} \]

2. Пользуемся Пифагором для находящегося треугольника (где B находится в пустом месте):

• \( a = AC = 64 \)
• \( b = BC = 120 \)

Сначала выведем через \( A \) и \( B \).

Они могут быть в форме:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos B \]

Находим:

\[ c^2 = 64^2 + 120^2 = 4096 + 14400 = 18496 \]

Следовательно,

\[ AB = \sqrt{18496} = 136 \, \text{см} \]

Теперь, зная \( AB \), находим синус и косинус угла \( B \):

Для синуса \( B \):

\[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{64}{136} = \frac{16}{34} = \frac{8}{17} \]

Для косинуса:

Из законов:

\[ \cos^2 B + \sin^2 B = 1 \]

где \( \cos^2 B = 1 - \left( \frac{8}{17} \right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \)

Следовательно,

\[ \cos B = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \]

Теперь, подводя итог:

• \( AB = 136 \, \text{см} \)
• \( \sin B = \frac{8}{17} \)
• \( \cos B = \frac{15}{17} \)

Ответ:

\[ AB = 136 \, \text{см}; \quad \sin B = \frac{8}{17}; \quad \cos B = \frac{15}{17} \]