Чтобы разложить выражение ( 2x^2 - 2x + \frac{1}{2} ) на множители, следуем пошагово:
Шаг 1: Привести к удобному виду
Сначала заметим, что в выражении присутствуют коэффициенты. Чтобы упростить задачу, можем умножить всё выражение на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
2(2x^2 - 2x + \frac{1}{2}) = 4x^2 - 4x + 1
]
Теперь наше новое выражение — это ( 4x^2 - 4x + 1 ). Однако, для нахождения корней мы можем использовать формулу сокращенного умножения.
Шаг 2: Применить формулу
Видим, что ( 4x^2 - 4x + 1 ) можно представить в виде полного квадрата. Проверим, не является ли это квадратом бинома. Вспомним, что полный квадрат имеет вид:
[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
]
Здесь:
- ( a^2 = 4x^2 \implies a = 2x ),
- ( b^2 = 1 \implies b = 1 ).
Теперь подставим эти значения:
[
(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1.
]
Таким образом, мы можем записать:
[
4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2.
]
Шаг 3: Вернуться к оригинальному выражению
Теперь вернемся к нашему первоначальному выражению. Мы помним, что мы умножили на 2, так что:
[
2x^2 - 2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (4x^2 - 4x + 1) = \frac{1}{2} (2x - 1)^2.
]
Ответ
Итак, финальный ответ на задачу:
[
2x^2 - 2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (2x - 1)^2.
]
Вывод
Таким образом, мы разложили данное выражение на множители, и это носит вид полного квадрата.
