Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек ( U(1, -4) ) и ( H(9, -5) ), нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Понимание понятия "равноудалённая точка"
Точка, которая равновдалена от двух других точек на плоскости, будет находиться на перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти две точки и делящем его пополам. Эта точка также должна иметь Y-координату равную 0, так как она принадлежит оси абсцисс.
Шаг 2: Найдём среднюю точку между ( U ) и ( H )
Для начала вычислим координаты средней точки ( M ) отрезка ( UH ). Среднюю точку можно найти с помощью формул:
[
M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad M_y = \frac{y_1 + y_2}{2}
]
Где ( (x_1, y_1) = (1, -4) ) и ( (x_2, y_2) = (9, -5) ).
Теперь подставим значения:
[
M_x = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5
]
[
M_y = \frac{-4 + (-5)}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5
]
Таким образом, средняя точка ( M ) имеет координаты ( (5, -4.5) ).
Шаг 3: Находим уравнение перпендикуляра
Для нахождения уравнения перпендикуляра, проведенного через среднюю точку ( M(5, -4.5) ), нам нужно найти наклон (угловой коэффициент) отрезка ( UH ):
Угловой коэффициент ( k ) определяется по формуле:
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-5 - (-4)}{9 - 1} = \frac{-5 + 4}{8} = \frac{-1}{8}
]
Теперь, поскольку мы ищем перпендикуляр, его угловой коэффициент будет равен отрицательному обратному ( k ):
[
k_{перпендикуляра} = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{-\frac{1}{8}} = 8
]
Шаг 4: Уравнение прямой
Теперь мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точку ( M(5, -4.5) ) с угловым коэффициентом ( 8 ):
[
y - y_1 = k(x - x_1)
]
[
y - (-4.5) = 8(x - 5)
]
[
y + 4.5 = 8x - 40
]
[
y = 8x - 44.5
]
Шаг 5: Найти точку на оси абсцисс
Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс, заменим ( y ) на 0 в уравнении:
[
0 = 8x - 44.5
]
[
8x = 44.5
]
[
x = \frac{44.5}{8} = 5.5625
]
Итог
Таким образом, координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и равноудалена от точек ( U(1, -4) ) и ( H(9, -5) ), равны:
[
\left(5.5625, 0\right)
]
Это и есть искомая точка!
