Для решения данной задачи постараемся выяснить, сколько теплоты требуется для нагрева меди, используя молярную теплоемкость, которая зависит от температуры.
Шаг 1: Определение параметров задачи
- Масса меди ( m = 2.15 ) кг
- Начальная температура ( T_1 = 25 ) °C
- Конечная температура ( T_2 = 1000 ) °C
Шаг 2: Преобразование единиц
Поскольку молярная теплоемкость у нас дана в джоулях на моль на Кельвин, сначала найдем количество молей меди. Для этого используем молярную массу меди, которая равна приблизительно 63.55 г/моль. Переведем массу меди в граммы:
[
m = 2.15 , \text{кг} = 2150 , \text{г}
]
Теперь вычислим количество молей ( n ):
[
n = \frac{m}{M} = \frac{2150 , \text{г}}{63.55 , \text{г/моль}} \approx 33.83 , \text{моль}
]
Шаг 3: Определение количества теплоты
Чтобы вычислить количество теплоты, которое нужно для нагрева меди, используем следующее интегральное выражение:
[
Q = \int_{T_1}^{T_2} C_p , dT
]
где ( C_p(T) = 22.64 + 6.28 \times 10^{-3} T )
Теперь подставим это в интеграл:
[
Q = n \int_{T_1}^{T_2} \left( 22.64 + 6.28 \times 10^{-3} T \right) , dT
]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Вычислим интеграл:
[
\int \left( 22.64 + 6.28 \times 10^{-3} T \right) , dT = 22.64 T + \frac{6.28 \times 10^{-3}}{2} T^2 = 22.64 T + 3.14 \times 10^{-3} T^2 + C
]
Теперь подставим пределы интегрирования:
[
Q = n \left[ 22.64 T + 3.14 \times 10^{-3} T^2 \right]_{25}^{1000}
]
Шаг 5: Подсчет значений в пределах
Подставляем значения:
Для ( T_2 = 1000 ):
[
22.64 \cdot 1000 + 3.14 \times 10^{-3} \cdot (1000)^2 = 22640 + 3140 = 25780
]
Для ( T_1 = 25 ):
[
22.64 \cdot 25 + 3.14 \times 10^{-3} \cdot (25)^2 = 566 + 1.96 = 567.96
]
Теперь подставляем в формулу для ( Q ):
[
Q = n (25780 - 567.96) = 33.83 \cdot (25780 - 567.96) = 33.83 \cdot 25212.04 \approx 854,481.43 , \text{Дж}
]
Шаг 6: Ответ
Количество теплоты, поглощаемое медью при нагревании от 25 °C до 1000 °C, составляет примерно 854,481.43 Дж.
