Найди площадь прямоугольника M N K L MNKL , если M ( − 6 ; 3 ) M(−6;3) , N ( − 3 ; 7 ) N(−3;7) , K ( 5 ; 1 ) K(5;1) , L ( 2 ; − 3 ) L(2;−3) .
Для нахождения площади прямоугольника, заданного четырьмя вершинами, мы можем использовать координаты этих точек. Давайте анализировать, как это сделать.
Шаг 1: Определение координат вершин
У нас есть четыре вершины:
- \( M(-6; 3) \)
- \( N(-3; 7) \)
- \( K(5; 1) \)
- \( L(2; -3) \)
Шаг 2: Определение сторон прямоугольника
Для того чтобы понять, каковы стороны прямоугольника, важно вспомнить, что противостоящие стороны прямоугольника равны, а углы между ними прямые. Для этого мы должны найти длины двух перпендикулярных сторон.
Можно начать с вычисления расстояний между точками.
Шаг 3: Вычисление длин сторон с помощью формулы расстояния
Формула расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит так: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Давайте вычислим расстояния:
Расстояние MN: \[ d_{MN} = \sqrt{(-3 - (-6))^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Расстояние NL: \[ d_{NL} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 7)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \]
Расстояние KL: \[ d_{KL} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Расстояние MK: \[ d_{MK} = \sqrt{(5 - (-6))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(11)^2 + (-2)^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \]
Теперь мы видим, что стороны MN и KL равны (по 5 единиц), а стороны NL и MK равны (по \(5\sqrt{5}\) единиц). Это означает, что прямоугольник MNKL существует.
Шаг 4: Вычисление площади прямоугольника
Площадь прямоугольника можно найти по формуле: \[ \text{Площадь} = \text{длина} \times \text{ширина} \]
Значит, \[ \text{Площадь} = MN \times NL = 5 \times 5\sqrt{5} = 25\sqrt{5} \]
Ответ: Площадь прямоугольника MNKL равна \( 25\sqrt{5} \) квадратных единиц.
