Девятиклассники планируют организацию выпускного вечера. В первую очередь они решили, что вести торжественную часть выпускного будут два ведущих. Потом они договорились, что это будут двое победителей муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников. Сколько существует вариантов комбинаций, если всего в классе учится 7 человек, подходящих под это условие, а выбор происходит случайным образом?

Для решения этой задачи мы используем понятие комбинаторики, а именно — количество сочетаний. Нам нужно выбрать 2 победителей из 7 человек. Количество сочетаний \( C(n, k) \) вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \] где: - \( n \) — общее количество элементов (в данном случае, 7), - \( k \) — количество выбираемых элементов (в данном случае, 2), - \( n! \) — факториал числа \( n \) (то есть произведение всех положительных целых чисел до \( n \)). Теперь подставим наши числа в формулу: 1. Подставляем \( n = 7 \) и \( k = 2 \): \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2! \cdot (7 - 2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} \] 2. Раскроем факториалы: - \( 7! = 7 \times 6 \times 5! \) (заметим, что \( 5! \) в числителе и в знаменателе сокращаются). - \( 2! = 2 \times 1 = 2 \). Тогда наша формула упрощается до: \[ C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2!} = \frac{7 \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] Итак, существует **21 вариант** комбинаций выбора 2 ведущих из 7 человек. Таким образом, ответ: **21**.