решение систем способом подстановки 3u-4v=2 9u-5v=7

Для решения системы уравнений способом подстановки, начнем с того, что у нас есть:

1. \( 3u - 4v = 2 \) (Уравнение 1)
2. \( 9u - 5v = 7 \) (Уравнение 2)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Возьмем первое уравнение (Уравнение 1) и выразим \( v \) через \( u \):

\[ 3u - 4v = 2 \]

Переместим \( 4v \) на правую сторону:

\[ 3u - 2 = 4v \]

Теперь разделим обе стороны на 4, чтобы выразить \( v \):

\[ v = \frac{3u - 2}{4} \]

Шаг 2: Подставим полученное выражение во второе уравнение

Теперь подставим \( v \) из Уравнения 1 в Уравнение 2:

\[ 9u - 5v = 7 \]

Получаем:

\[ 9u - 5\left(\frac{3u - 2}{4}\right) = 7 \]

Теперь умножим \( 5 \) на дробь:

\[ 9u - \frac{15u - 10}{4} = 7 \]

Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 4:

\[ 4 \cdot 9u - (15u - 10) = 4 \cdot 7 \]

Это даст:

\[ 36u - 15u + 10 = 28 \]

Шаг 3: Упростим и найдем \( u \)

Теперь упростим уравнение:

\[ 21u + 10 = 28 \]

Вычтем 10 из обеих сторон:

\[ 21u = 18 \]

Теперь разделим на 21:

\[ u = \frac{18}{21} = \frac{6}{7} \]

Шаг 4: Найдем \( v \)

Теперь, когда мы знаем \( u \), подставим его обратно в выражение для \( v \):

\[ v = \frac{3u - 2}{4} \]

Подставляем \( u = \frac{6}{7} \):

\[ v = \frac{3\left(\frac{6}{7}\right) - 2}{4} \]

Сначала посчитаем числитель:

\[ 3 \cdot \frac{6}{7} = \frac{18}{7} \]

Теперь вычтем 2, приведем к общему знаменателю:

\[ 2 = \frac{14}{7} \quad \Rightarrow \quad \frac{18}{7} - \frac{14}{7} = \frac{4}{7} \]

Теперь подставим в формулу для \( v \):

\[ v = \frac{\frac{4}{7}}{4} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \]

Шаг 5: Ответ

Мы нашли решения для переменных:

\[ u = \frac{6}{7}, \quad v = \frac{1}{7} \]

Проверка

Подставим найденные значения \( u \) и \( v \) обратно в исходные уравнения для проверки.

1. Для \( 3u - 4v = 2 \):

\[ 3\left(\frac{6}{7}\right) - 4\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{18}{7} - \frac{4}{7} = \frac{14}{7} = 2 \]

2. Для \( 9u - 5v = 7 \):

\[ 9\left(\frac{6}{7}\right) - 5\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{54}{7} - \frac{5}{7} = \frac{49}{7} = 7 \]

Оба уравнения выполняются, значит, всё верно.

Итог

Решение системы уравнений:

\[ u = \frac{6}{7}, \quad v = \frac{1}{7} \]

Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!