Чтобы система находилась в равновесии, нужно учесть силы, действующие на заряды в вершинах треугольника и заряд в центре.
Пусть ( q = 1.73 \times 10^{-6} ) Кл — заряд на вершинах треугольника, а ( Q ) — заряд в центре. Рассмотрим равносторонний треугольник с длиной стороны ( a ). Сила взаимодействия между зарядами на вершинах описывается законом Кулона:
[
F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
]
где ( k ) — коэффициент пропорциональности (константа Кулона), ( q_1 ) и ( q_2 ) — взаимодействующие заряды, ( r ) — расстояние между ними.
Силы, действующие на один из зарядов в вершине (например, ( q_1 )), будут складываться из силы, действующей от двух других зарядов и силы, действующей от заряда ( Q ) в центре.
Заряд в центре треугольника будет привлекать заряды в вершинах, давайте назовем ( F_Q ) силу, с которой заряд ( Q ) действует на заряд ( q ):
[
F_Q = k \frac{|Q q|}{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = k \frac{|Q q|}{\frac{a^2}{3}} = \frac{3k |Q q|}{a^2}
]
Где (\frac{a}{\sqrt{3}}) — это расстояние от центра треугольника до вершины.
Теперь рассмотрим силы, действующие на заряд ( q ) от других зарядов ( q ):
Сила ( F_{12} ) (между двумя зарядами в вершинах) равна:
[
F_{12} = k \frac{q^2}{a^2}
]
С учетом симметрии, две таких силы будут направлены под углом 60° друг к другу. Их сумма будет направлена в центр треугольника. Компоненты сил можно разложить:
[
F_{net} = 2F_{12} \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot k \frac{q^2}{a^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = k \frac{\sqrt{3} q^2}{a^2}
]
Для достижения равновесия, сила притяжения со стороны заряда ( Q ) в центре треугольника должна равняться сумме сил от двух других зарядов:
[
F_Q = F_{net}
]
Подставляем выражения:
[
\frac{3k |Q q|}{a^2} = k \frac{\sqrt{3} q^2}{a^2}
]
Сокращаем ( k ) и ( a^2 ) (нужно, чтобы ( a \neq 0 )):
[
3 |Q| = \sqrt{3} q
]
Теперь решаем относительно ( Q ):
[
|Q| = \frac{\sqrt{3}}{3} q
]
Подставляя известное значение заряда ( q = 1.73 \times 10^{-6} ) Кл:
[
|Q| = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1.73 \times 10^{-6} \approx 1.0 \times 10^{-6} \text{ Кл}
]
Таким образом, заряд, который нужно поместить в центр треугольника составляет примерно ( 1.0 \times 10^{-6} ) Кл. Этот заряд должен быть отрицательным, чтобы уравновешивать положительные заряды на вершинах.
