Решить

Для решения неравенства \(x^2 - 4x < 0\) выполним следующие шаги:

1. Преобразуем неравенство: Разложим левую часть на множители: \[ x^2 - 4x = x(x - 4) \] Таким образом, неравенство становится: \[ x(x - 4) < 0 \]

2. Найдём нули функции: Нули функции определяются уравнением: \[ x(x - 4) = 0 \] Решения: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 \]

3. Определим интервалы: Разделим числовую прямую на интервалы с учётом найденных нулей: \((-∞, 0)\), \((0, 4)\), \((4, ∞)\).

4. Проверим знак произведения на каждом интервале:

   • На интервале \((-∞, 0)\):

     • Выбираем тестовую точку, например, \(x = -1\).
     • Подставляем: \((-1)(-1 - 4) = (-1)(-5) > 0\).
     • Произведение положительно, не подходит.

   • На интервале \((0, 4)\):

     • Выбираем тестовую точку, например, \(x = 2\).
     • Подставляем: \(2(2 - 4) = 2(-2) < 0\).
     • Произведение отрицательно, подходит.

   • На интервале \((4, ∞)\):

     • Выбираем тестовую точку, например, \(x = 5\).
     • Подставляем: \(5(5 - 4) = 5 \cdot 1 > 0\).
     • Произведение положительно, не подходит.

5. Учтём границы интервалов:

   • Так как неравенство строгое (\(<\)), то нули \(x = 0\) и \(x = 4\) не включаются в решение.

6. Записываем ответ: Таким образом, решением неравенства является интервал \((0, 4)\).

Выбор правильного варианта из предложенных: \[ \text{Правильный ответ: \([0; 4)\)}. \]