Чтобы решить задачу, давайте разберемся с условиями, которые мы имеем:
У нас есть 18 учебников и 1 словарь, всего 19 книг. Нам нужно выбрать 5 книг при условии, что среди них обязательно должен быть словарь.
Шаг 1: Выбор словаря
Так как словарь должен быть в выбранных книгах, мы сначала его "закрепим" в нашем выборе. То есть словарь уже входит в состав наших 5 книг. Теперь нужно выбрать 4 книги из оставшихся 18 учебников.
Шаг 2: Выбор оставшихся книг
Теперь перед нами стоит задача выбрать 4 книги из 18 учебников. Мы можем использовать формулу для подсчета сочетаний, которая обозначается как ( C(n, k) ), где ( n ) — общее количество предметов, а ( k ) — количество предметов, которые нужно выбрать.
Формула для вычисления сочетаний выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
В нашем случае:
- ( n = 18 ) (учебники)
- ( k = 4 ) (количество книг, которые мы хотим выбрать помимо словаря)
Шаг 3: Подсчет сочетаний
Теперь мы можем подставить значения в формулу:
[
C(18, 4) = \frac{18!}{4!(18 - 4)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!}
]
Мы можем сократить факториалы:
[
C(18, 4) = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Шаг 4: Вычисление
Теперь посчитаем числитель и знаменатель.
Числитель:
[
18 \times 17 = 306
]
[
306 \times 16 = 4896
]
[
4896 \times 15 = 73440
]
Знаменатель:
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Теперь делим числитель на знаменатель:
[
C(18, 4) = \frac{73440}{24} = 3060
]
Ответ
Итак, количество способов выбрать 5 книг, включая словарь, составляет 3060.
