В данном случае словосочетание "не покладая рук" пишется раздельно.
Давайте разберем это подробнее:
Обороты с "не": В русском языке "не" часто пишется раздельно с глаголами и прилагательными. Оборот "не покладая" включает в себя действие, которое совершает мать, то есть "покладать руки", а "не" здесь указывает на то, что она делает это без отдыха, постоянно.
Глагол "положить": Глагол "положить" в форме "покладая" здесь употребляется в деепричастной форме (это отглагольное существительное, образованное от слова "положить"). Как правило, если в предложении есть отрицание с "не", то оно пишется раздельно с деепричастиями и т. д.
Смысловая нагрузка: Оборот "не покладая рук" образует устойчивое выражение, которое значит "делая что-то без остановки, усердно". Это выражение широко используется в языке и помогает передать значимость труда и усилий.
Таким образом, правильный вариант — "не покладая рук".