1. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии (а), если а 18 d = 4 2. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии: 32, 29, 26, 3. Найдите сумму…

Давайте по порядку разберём все задачи.

1. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = 18, d = 4.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Подставим известные значения:

• \( a_1 = 18 \)
• \( d = 4 \)
• \( n = 15 \)

Теперь подставим в формулу: \[ a_{15} = 18 + (15 - 1) \cdot 4 \] \[ a_{15} = 18 + 14 \cdot 4 \] \[ a_{15} = 18 + 56 \] \[ a_{15} = 74 \]

Ответ: Пятнадцатый член прогрессии равен 74.

2. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии: 32, 29, 26.

Сначала определим первый член (a) и разность (d):

• \( a = 32 \)
• \( d = 29 - 32 = -3 \)

Сумма S_n первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1) \cdot d) \]

Подставляем значения:

• \( n = 12 \)

\[ S_{12} = \frac{12}{2} (2 \cdot 32 + (12 - 1) \cdot (-3)) \] \[ = 6 (64 + 11 \cdot (-3)) \] \[ = 6 (64 - 33) \] \[ = 6 \cdot 31 = 186 \]

Ответ: Сумма двенадцати первых членов равна 186.

3. Найдите сумму тридцати первых членов последовательности (a), заданной формулой a_{n} = 3n + 2.

Сначала найдем сумму первых 30 членов по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] Чтобы использовать это, нужно найти \( a_1 \) и \( a_{30} \):

• \( a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \)
• \( a_{30} = 3 \cdot 30 + 2 = 92 \)

Теперь подставим в формулу суммы: \[ S_{30} = \frac{30}{2} (5 + 92) = 15 \cdot 97 = 1455 \]

Ответ: Сумма тридцати первых членов равна 1455.

4. Найдите пятый член геометрической прогрессии (b_n), если b_1 = -64, r = -1/2.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \]

Подставим известные значения:

• \( b_1 = -64 \)
• \( r = -\frac{1}{2} \)
• \( n = 5 \)

\[ b_5 = -64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{4} = -64 \cdot \frac{1}{16} = -4 \]

Ответ: Пятый член прогрессии равен -4.

5. Первый член геометрической прогрессии (b_1) равен 2, знаменатель равен 3. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

Сумма S_n первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

Здесь:

• \( b_1 = 2 \)
• \( r = 3 \)
• \( n = 5 \)

Подставим значения в формулу: \[ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} \] \[ = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 242 \]

Ответ: Сумма пяти первых членов равна 242.

6. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0.24̅.

Обозначим x как 0.24̅: \[ x = 0.242424... \] Умножим на 100, чтобы избавиться от периодической части: \[ 100x = 24.242424... \]

Теперь вычтем x из 100x: \[ 100x - x = 24.242424... - 0.242424... \] \[ 99x = 24 \] \[ x = \frac{24}{99} \] Упростим дробь: \[ x = \frac{8}{33} \]

Ответ: Бесконечная десятичная дробь 0.24̅ равна обыкновенной дроби \(\frac{8}{33}\).

Если у вас есть дальнейшие вопросы или нужно объяснить что-то подробнее, пожалуйста, дайте знать!