1. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность.
Дано:
Длина большей окружности (около шестиугольника) = 4π.
Найдём:
- Площадь кольца (разность площадей описанной и вписанной окружностей).
- Площадь правильного шестиугольника.
Шаг 1: Найдём радиус описанной окружности
Длина окружности (C) выражается с помощью формулы:
[
C = 2\pi R
]
где (R) — радиус окружности.
Подставим известные значения:
[
4\pi = 2\pi R
]
Упростим уравнение:
[
R = \frac{4\pi}{2\pi} = 2
]
Таким образом, радиус описанной окружности (R = 2).
Шаг 2: Найдём радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника (r) связан с радиусом описанной окружности (R) формулой:
[
r = \frac{R \sqrt{3}}{2}
]
Подставим значения:
[
r = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
]
Шаг 3: Найдём площадь шестиугольника
Площадь (A) правильного шестиугольника может быть найдена с помощью формулы:
[
A = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2
]
Подставим (R = 2):
[
A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}
]
Шаг 4: Найдём площади окружностей
Площадь описанной окружности (A_1):
[
A_1 = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi
]
Площадь вписанной окружности (A_2):
[
A_2 = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi
]
Шаг 5: Найдём площадь кольца
Площадь кольца (A_{ring}):
[
A_{ring} = A_1 - A_2 = 4\pi - 3\pi = \pi
]
Ответ:
- Площадь кольца = (\pi)
- Площадь шестиугольника = (6\sqrt{3})
2. Хорда окружности равна (5\sqrt{2}) и стягивает дугу в (90^\circ).
Дано:
- Длина хорды (AB = 5\sqrt{2})
- Угол дуги (∠AOB = 90^\circ), где (O) — центр окружности.
Найдём:
- Длину дуги (AB)
- Площадь соответствующего сектора.
Шаг 1: Найдём радиус окружности
Для угла в (90^\circ) связь между радиусом (R) и длиной хорды (c) задаётся формулой:
[
c = R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
]
где (\theta = 90^\circ).
Подставим значения:
[
5\sqrt{2} = R \cdot \sin(45^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Отсюда:
[
R = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5 \cdot 2 = 10
]
Шаг 2: Найдём длину дуги
Длина дуги (L) вычисляется по формуле:
[
L = R \cdot \theta_{rad}
]
где (\theta_{rad} = \frac{\pi}{2}) радиан (так как (90^\circ = \frac{\pi}{2})).
Подставим значения:
[
L = 10 \cdot \frac{\pi}{2} = 5\pi
]
Шаг 3: Найдём площадь сектора
Площадь сектора (A) вычисляется по формуле:
[
A = \frac{1}{2} R^2 \theta_{rad}
]
Подставим значения:
[
A = \frac{1}{2} \cdot (10)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\pi}{2} = 25\pi
]
Ответ:
- Длина дуги (AB) = (5\pi)
- Площадь соответствующего сектора = (25\pi)
