1. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина большей окружности равна 4л. Найдите площадь кольца и площадь шестиугольника. ника. 2.…

1. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность.

Дано:
Длина большей окружности (около шестиугольника) = 4π.

Найдём:

• Площадь кольца (разность площадей описанной и вписанной окружностей).
• Площадь правильного шестиугольника.

Шаг 1: Найдём радиус описанной окружности

Длина окружности \(C\) выражается с помощью формулы: \[ C = 2\pi R \] где \(R\) — радиус окружности.

Подставим известные значения: \[ 4\pi = 2\pi R \] Упростим уравнение: \[ R = \frac{4\pi}{2\pi} = 2 \]

Таким образом, радиус описанной окружности \(R = 2\).

Шаг 2: Найдём радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника \(r\) связан с радиусом описанной окружности \(R\) формулой: \[ r = \frac{R \sqrt{3}}{2} \] Подставим значения: \[ r = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]

Шаг 3: Найдём площадь шестиугольника

Площадь \(A\) правильного шестиугольника может быть найдена с помощью формулы: \[ A = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 \] Подставим \(R = 2\): \[ A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3} \]

Шаг 4: Найдём площади окружностей

Площадь описанной окружности \(A_1\): \[ A_1 = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \] Площадь вписанной окружности \(A_2\): \[ A_2 = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \]

Шаг 5: Найдём площадь кольца

Площадь кольца \(A_{ring}\): \[ A_{ring} = A_1 - A_2 = 4\pi - 3\pi = \pi \]

Ответ:

• Площадь кольца = \(\pi\)
• Площадь шестиугольника = \(6\sqrt{3}\)

2. Хорда окружности равна \(5\sqrt{2}\) и стягивает дугу в \(90^\circ\).

Дано:

• Длина хорды \(AB = 5\sqrt{2}\)
• Угол дуги \(∠AOB = 90^\circ\), где \(O\) — центр окружности.

Найдём:

• Длину дуги \(AB\)
• Площадь соответствующего сектора.

Шаг 1: Найдём радиус окружности

Для угла в \(90^\circ\) связь между радиусом \(R\) и длиной хорды \(c\) задаётся формулой: \[ c = R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \] где \(\theta = 90^\circ\).

Подставим значения: \[ 5\sqrt{2} = R \cdot \sin(45^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Отсюда: \[ R = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5 \cdot 2 = 10 \]

Шаг 2: Найдём длину дуги

Длина дуги \(L\) вычисляется по формуле: \[ L = R \cdot \theta_{rad} \] где \(\theta_{rad} = \frac{\pi}{2}\) радиан (так как \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\)).

Подставим значения: \[ L = 10 \cdot \frac{\pi}{2} = 5\pi \]

Шаг 3: Найдём площадь сектора

Площадь сектора \(A\) вычисляется по формуле: \[ A = \frac{1}{2} R^2 \theta_{rad} \] Подставим значения: \[ A = \frac{1}{2} \cdot (10)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\pi}{2} = 25\pi \]

Ответ:

• Длина дуги \(AB\) = \(5\pi\)
• Площадь соответствующего сектора = \(25\pi\)